Zhrnutie na Vzájomná poloha kružníc a priesečníky

## Úvod Geometria kružníc skúma vlastnosti kruhov a vzťahy medzi nimi. Tento materiál sa zameriava na vzájomné polohy dvoch kružníc podľa vzdialenosti ich stredov a ich polomerov. Popis je jednoduchý, prehľadný a určený pre študenta, ktorý sa pripravuje samostatne. ## Základné pojmy > **Kružnica** je množina bodov v rovine, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu nazývaného stred. > **Polomer** je vzdialenosť od stredu kružnice k ľubovoľnému bodu na kružnici, označme ho $r$. > **Vzdialenosť stredov** dvoch kružníc je dĺžka úsečky spájajúcej ich stredu, označme ju $d$. ## Klasifikácia vzájomnej polohy dvoch kružníc Rozhodujeme podľa porovnania $d$, $r_1$ a $r_2$ (kde predpokladáme bez straty všeobecnosti $r_1 \ge r_2$). Každý prípad vysvetlíme, uvedieme podmienku a krátky popis. ### Prípad A: Dva spoločné body (kríženie) > Podmienka: $$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$$ Popis: Kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch. To nastáva, keď sú dostatočne blízko, aby sa prekrývali, ale nie sú tak blízko, že by jedna ležala úplne vnútri druhej bez dotyku. Príklad: $r_1 = 5$, $r_2 = 3$, $d = 6$ spĺňa $5 - 3 = 2 < 6 < 8 = 5 + 3$, takže sú dva spoločné body. ### Prípad B: Žiadny spoločný bod (jedna vnútri druhej bez dotyku) > Podmienka: $$d < r_1 - r_2$$ Popis: Menšia kružnica leží úplne vnútri väčšej bez dotyku. Stredu menšej je príliš blízko k stredu väčšej. Príklad: $r_1 = 7$, $r_2 = 2$, $d = 3$ pretože $7 - 2 = 5$ a $3 < 5$. ### Prípad C: Jeden spoločný bod (vnútorný dotyk) > Podmienka: $$d = r_1 - r_2$$ Popis: Menšia kružnica sa dotýka vnútri väčšej v jednom bode (vnútorný dotyk). Príklad: $r_1 = 6$, $r_2 = 2$, $d = 4$ pretože $6 - 2 = 4$. ### Prípad D: Jeden spoločný bod (vonkajší dotyk) > Podmienka: $$d = r_1 + r_2$$ Popis: Kružnice sa dotýkajú zvonku v jednom bode (vonkajší dotyk). Príklad: $r_1 = 4$, $r_2 = 3$, $d = 7$ pretože $4 + 3 = 7$. ### Prípad E: Žiadny spoločný bod (oddialené kružnice) > Podmienka: $$d > r_1 + r_2$$ Popis: Kružnice sú od seba príliš ďaleko a nemajú spoločné body. Príklad: $r_1 = 3$, $r_2 = 2$, $d = 6$ pretože $3 + 2 = 5$ a $6 > 5$. ## Prehľad v tabuľke | Situácia | Podmienka | Počet spoločných bodov | |---|---:|---:| | Kríženie | $$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$$ | 2 | | Jedna vnútri druhej (bez dotyku) | $$d < r_1 - r_2$$ | 0 | | Vnútorný dotyk | $$d = r_1 - r_2$$ | 1 | | Vonkajší dotyk | $$d = r_1 + r_2$$ | 1 | | Oddialené kružnice | $$d > r_1 + r_2$$ | 0 | ## Praktické príklady a aplikácie - Geodézia: pri meraní vzdialeností a hľadaní spoločných bodov kruhových oblastí (napr. pokrytie signálom). - Robotika: plánovanie dráh, kde bezpečnostné oblasti okolo robotov sú kruhy; kontrola kolízie podľa vzťahov medzi kruhmi. - Grafické programovanie: detekcia kolízií medzi kruhovými objektmi v 2D hrách. Praktický výpočet spoločných bodov: ak sú splnené podmienky kríženia, súradnice priesečníkov sa dajú vypočítať riešením sústavy rovníc kružníc. Základné kroky: 1. Napíšeme rovnice kružníc so stredmi $C_1(x_1,y_1)$ a $C_2(x_2,y_2)$ a polomermi $r_1$, $r_2$: $$ (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 $$ $$ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 $$ 2. Odčítaním druhého od prvého zrušíme kvadratické členy a získame rovnicu priamky, ktorú potom dosadíme späť. ## Tipy na riešenie úloh - Vždy zoraďte $r_1 \ge r_2$ pre jednoduchšie porovnávanie. - Skontrolujte hranicu: najprv porovnajte $d$ s $r_1 + r_2$ a $r_1 - r_2$. - Pri výpočte súradníc priesečníkov používajte najprv lineárnu rovnici z odčítania a potom dosadzujte. Fun fact: Kružnice s rovnakým polomerom sa nazývajú koncentrovo symetrické len ak majú rovnaký stred, inak sú to cirkuly s rovnakým polomerom a ich vzájomná poloha závisí len na vzdialenosti stredov. ## Zhrnutie - Porovnaním $d$, $r_1 + r_2$ a $r_1 - r_2$ určíte polohu dvoch kružníc. - Možné počty spoločných bodov sú 0, 1 alebo 2. - Pri krížení vyriešime sústavu rovníc kružníc; pri dotyku sa rovnice zjednodušia na jediný spoločný bod. ## Ďalšie cvičenia (odporúčané) 1. Určte polohu kružníc pre $r_1