Podcast o Výpočty v zloženom úročení

Kapitoly

Čo je to zložené úročenie?

Kúzelný vzorec a jeho časti

Príklady zo života

Keď nepoznáme čas alebo úrok

Súboj bánk: Kto vyhrá?

Najčastejšie chyby a ako sa im vyhnúť

Přepis

Lukáš: Predstav si, že sedíš na písomke a príde otázka: Banka A ponúka ročný úrok 3,5 percenta. Banka B ponúka 3,4 percenta, ale úročí každý mesiac. Ktorá ponuka je lepšia? Toto je presne ten typ úlohy, ktorý potrápi 80 % študentov. Ale máme pre teba dobrú správu.

Lucia: Presne tak! A my ti dnes ukážeme, ako na to, aby si už nikdy viac neurobil chybu. Zistíš, prečo nižší úrok môže byť niekedy výhodnejší. Je to ten moment, kedy ti to celé docvakne.

Lukáš: Počúvate Studyfi Podcast. Poďme teda na to. Lucia, čo to vlastne je to zložené úročenie?

Lucia: Skvelá otázka. Najjednoduchšie je predstaviť si to ako snehovú guľu. Začneš s malou guličkou, čo je tvoj počiatočný vklad. Ako ju kotúľaš dolu kopcom, nabaľuje na seba ďalší sneh. To sú úroky.

Lukáš: Chápem, guľa sa zväčšuje...

Lucia: Presne. Ale pri zloženom úročení sa tá zväčšená guľa kotúľa ďalej a nabaľuje ešte viac snehu, lebo už je väčšia. Úroky, ktoré zarobíš, sa pripočítajú k pôvodnému vkladu a v ďalšom období už zarábajú aj samotné úroky. Hovorí sa tomu kapitalizácia.

Lukáš: Aha, takže peniaze zarábajú ďalšie peniaze. To znie dobre. Na rozdiel od jednoduchého úročenia, kde by sa úroky počítali stále len z tej pôvodnej malej guličky, však?

Lucia: Presne tak! A ten rozdiel je z dlhodobého hľadiska obrovský. Je to ako rozdiel medzi chôdzou a jazdou na bicykli. Oboje ťa dostane do cieľa, ale jedno je oveľa rýchlejšie.

Lukáš: Dobre, to dáva zmysel. Ale ako to vypočítame? Viem, že existuje nejaký vzorec, ktorý vyzerá dosť strašidelne.

Lucia: Myslíš G rovná sa G nula krát... a tak ďalej? Vôbec nie je strašidelný! Je to tvoj najlepší kamarát. Ten vzorec je Gₙ = G₀ · (1 + i)ⁿ.

Lukáš: Fíha. Rozoberme si to. Čo je čo?

Lucia: Jasné. G₀ je počiatočná istina. To sú peniaze, s ktorými začínaš. Jednoduché. Gₙ je konečná istina, teda suma, ktorú budeš mať na konci.

Lukáš: Okej, začiatok a koniec. To mám.

Lucia: Potom je tu 'n'. To je počet úrokovacích období. Napríklad počet rokov alebo mesiacov. A nakoniec 'i', čo je úroková sadzba za jedno obdobie, vždy vyjadrená ako desatinné číslo. Takže 5 % je 0,05.

Lukáš: Takže ak mám ročnú sadzbu, ale úročí sa mesačne, musím si to prepočítať?

Lucia: Presne! To je kľúčové! Ak je ročná sadzba 6 % a úročenie je mesačné, tak 'i' bude 0,06 delené dvanástimi. A 'n' nebude počet rokov, ale počet mesiacov. Na toto si treba dať pozor.

Lukáš: Super, poďme na konkrétny príklad. Pán Novák vloží 1 000 eur s ročným úrokom 3 % na 5 rokov. Koľko bude mať?

Lucia: Perfektný príklad. G₀ je 1000. 'i' je 0,03. 'n' je 5. Takže počítame: 1000 krát (1 + 0,03) na piatu. To je 1000 krát 1,03 na piatu.

Lukáš: A výsledok je... poďme na to... 1159,27 eura. Takže za 5 rokov zarobil takmer 160 eur len tak, že nechal peniaze v banke.

Lucia: Presne. A teraz otočka. Pani Veselá chce mať o 10 rokov 5 000 eur. Úrok je 2,5 % ročne. Koľko musí vložiť dnes?

Lukáš: Aha, takže teraz hľadáme G₀, tú počiatočnú istinu. Musíme ten vzorec prehodiť, však?

Lucia: Áno, len predelíš konečnú istinu Gₙ tým zvyškom vzorca. Takže G₀ sa rovná Gₙ delené (1 + i)ⁿ. V našom prípade 5000 delené (1,025) na desiatu.

Lukáš: Čo vychádza na... 3905,99 eura. Takže potrebuje skoro 4000, aby o 10 rokov mala 5000. Zaujímavé.

Lucia: A teraz prichádza tá zábavnejšia časť. Čo ak chceme vedieť, ako dlho to bude trvať? Pán Kováč vloží 2000 eur pri 4 % ročnom úroku a chce vedieť, kedy sa mu vklad zdvojnásobí na 4000 eur.

Lukáš: Tuším, že tu prichádzajú na rad logaritmy. To je ten moment, kedy veľa študentov spanikári.

Lucia: Žiaden stres! Je to jednoduchšie, než to znie. Odvodený vzorec je: n sa rovná logaritmus z (Gₙ / G₀) delené logaritmom z (1 + i). V našom prípade logaritmus z dvoch delené logaritmom z 1,04.

Lukáš: Čo je približne 17,67 roka. Takže za necelých 18 rokov má dvojnásobok. To je sila zloženého úročenia!

Lucia: Presne tak. A posledná záhada: aký potrebujeme úrok? Investícia 5000 eur narástla za 7 rokov na 6500. Aký bol ročný úrok?

Lukáš: Tu budeme asi odmocňovať, že?

Lucia: Správne! Vzorec je i sa rovná n-tá odmocnina z (Gₙ / G₀) a od toho odčítaš jednotku. V našom prípade siedma odmocnina z (6500 / 5000), mínus jedna.

Lukáš: A to je... 0,03704. Čiže ročná úroková sadzba bola približne 3,7 %. Takže vieme vypočítať každú jednu časť vzorca.

Lucia: A teraz späť k tej maturitnej otázke z úvodu. Máš 8000 eur. Banka A dáva 3,5 % ročne, s ročným úročením. Banka B dáva 3,4 % ročne, ale s mesačným úročením. Ktorá je lepšia po 3 rokoch?

Lukáš: Ideme na to! V Banke A je to jednoduché. 8000 krát (1,035) na tretiu, čo je 8 869,74 eura.

Lucia: Super. A Banka B? Pamätaj na prepočet!

Lukáš: Jasné. Ročnú sadzbu 0,034 delím dvanástimi, čo je mesačná sadzba. A 3 roky sú 36 mesiacov. Takže 8000 krát (1 + 0,034/12) na tridsiatu šiestu.

Lucia: A výsledok je?

Lukáš: 8 871,97 eura! To je neuveriteľné. Banka B s nižším úrokom je výhodnejšia! Len o pár eur, ale je.

Lucia: Vidíš? To je sila častejšieho úročenia, tej snehovej gule, ktorá sa kotúľa častejšie. A to bol presne ten sľúbený „aha“ moment. Nižšia sadzba môže vyhrať, ak sa kúzlo kapitalizácie deje častejšie.

Lukáš: Dobre, toto si musím zapamätať. Aké sú ďalšie bežné chyby, na ktoré si dať pozor?

Lucia: Najväčšou chybou je práve ten nesúlad jednotiek. Keď máš ročnú sadzbu a mesačné úročenie, musíš obe veci prepočítať na mesiace. Vždy.

Lukáš: Takže 'i' aj 'n' musia hovoriť rovnakým jazykom. Buď sú obe ročné, alebo obe mesačné.

Lucia: Presne. Ďalšia vec je zaokrúhľovanie. Vždy počítaj s čo najviac desatinnými miestami a zaokrúhľuj až finálny výsledok. Inak sa ti môže stať, že ti vyjde Banka A ako lepšia, aj keď nie je.

Lukáš: A ešte nejaký tip?

Lucia: Áno. Nezabudni vo vzorci na tú jednotku. Je to (1 + i), nie len 'i'. Inak by si zo svojich peňazí mal na konci menej. A to asi nikto nechce.

Lukáš: To rozhodne nie. Skvelé tipy. Takže, ak si to zhrnieme, kľúčom je pochopiť vzorec, dávať si pozor na jednotky a uvedomiť si silu častejšieho úročenia.

Lucia: Presne tak. Najlepší spôsob, ako si to overiť, je skúšať si rôzne scenáre. Zmeň počiatočný vklad, zmeň úrok, zmeň počet rokov. Hraj sa s tým v našej aplikácii a uvidíš, ako sa tie čísla menia. Získaš tak pre to cit.

Lukáš: Výborne. Lucia, ďakujem ti veľmi pekne za objasnenie tohto zdanlivo zložitého, ale v skutočnosti logického konceptu.

Lucia: Aj ja ďakujem. A vám, milí poslucháči, prajem veľa úspechov pri úročení vedomostí aj peňazí.

Lukáš: To bolo pekné. Majte sa dobre a počujeme sa pri ďalšej epizóde.