Výpočet nízkonapäťových jednosmerných vedení

Vitajte v našom komplexnom sprievodcovi, ktorý sa venuje téme výpočet nízkonapäťových jednosmerných vedení. Táto oblasť elektrotechniky je kľúčová pre správne dimenzovanie a spoľahlivú prevádzku elektrických sietí. Pochopenie princípov a metodiky výpočtu je nevyhnutné pre každého študenta či odborníka. V tomto článku si prejdeme charakteristiky týchto vedení, dôležité parametre, rôzne typy zapojení a metódy merania.

Čo sú nízkonapäťové jednosmerné vedenia a prečo ich počítať?

Nízkonapäťové (NN) jednosmerné (DC) vedenia sú definované ich menovitým napätím $U_N$, ktoré sa pohybuje v rozsahu od 120 V do 1500 V pre DC siete a 50 V do 1000 V pre AC siete. Tieto vedenia majú zvyčajne menšiu dĺžku (rádovo metre až stovky metrov) a môžu byť napájané z jedného alebo dvoch zdrojov, pričom môžu mať jeden alebo viacero odberov. Delia sa na vonkajšie a káblové vedenia.

Ciele výpočtu vedení NN

Pri výpočte nízkonapäťových jednosmerných vedení sledujeme niekoľko hlavných cieľov:

• Vypočítať skutočný úbytok napätia ($\Delta U$): Ak je známy prierez vedenia, cieľom je určiť, aký bude skutočný pokles napätia na jeho dĺžke.
• Určiť prierez vedenia (S): Ak je naopak známy dovolený úbytok napätia, je potrebné správne nadimenzovať prierez vodičov, aby sa tento úbytok neprekročil.
• Určiť napätie na začiatku vedenia ($U_1$): V niektorých prípadoch je nutné vypočítať počiatočné napätie tak, aby napätie na konci vedenia ($U_2$) zodpovedalo menovitému napätiu ($U_N$).

Kľúčové parametre pre výpočet nízkonapäťových vedení

Pri výpočtoch vedení NN sa pracuje s viacerými dôležitými parametrami. Základom je pochopenie správania DC vedenia s jedným alebo viacerými odbermi.

DC Vedenie s jedným odberom

Pri jednoduchom DC vedení s jedným odberom sú kľúčové nasledujúce parametre:

• $U_1$: Napätie na začiatku vedenia (zdroja).
• L+: Kladný krajný vodič, L-: Záporný krajný vodič.
• $U_2$: Napätie na konci vedenia.
• I: Dĺžka vodiča (často sa v materiáloch označuje L).
• $R_V$: Odpor vedenia.
• $\Delta U$: Úbytok napätia na vedení. Hodnota, ktorú chceme určiť alebo na základe ktorej dimenzujeme prierez.

DC Vedenie s viacerými odbermi

S rastúcim počtom odberov sa výpočet stáva zložitejším. Tu vstupujú do hry:

• n: Počet odberov.
• $I_1, I_2 \dots I_n$: Jednotlivé odberové prúdy.
• $I'_1, I'_2 \dots I'_n$: Úsekové prúdy (prúdy pretekajúce jednotlivými úsekmi vedenia).
• $L'_1, L'_2 \dots L'_n$: Úsekové dĺžky (dĺžky medzi jednotlivými odbermi).
• $L_1, L_2 \dots L_n$: Odberové dĺžky (dĺžky od začiatku vedenia k jednotlivým odberom).
• Prúdový moment: I·L (A·m). Súčet úbytkov napätia na jednotlivých úsekoch sa rovná celkovému úbytku napätia na vedení.

Výpočet jednosmerného vedenia napájaného z jednej strany s viacerými odbermi

Úbytok napätia na vedení napájanom z jednej strany s viacerými odbermi sa rovná súčtu úbytkov napätia na jednotlivých úsekoch vedenia. Vzťah pre výpočet úbytku napätia ($\Delta U$) a prierezu (S) je kľúčový pre správne dimenzovanie.

Odvodenie úbytku napätia

Úbytok napätia na každom úseku je daný vzťahom:

$\Delta U'_1 = \frac{2\theta L'_1}{S} \cdot I'_1$ $\Delta U'_2 = \frac{2\theta L'_2}{S} \cdot I'_2$ ... a tak ďalej pre všetky úseky.

Celkový úbytok napätia je ich súčet:

$\Delta U = \Delta U'_1 + \Delta U'_2 + \dots + \Delta U'_n = \frac{2\theta}{S} \cdot (L'_1 \cdot I'_1 + L'_2 \cdot I'_2 + \dots + L'_n \cdot I'_n)$

Zjednodušene sa to dá zapísať ako:

$\Delta U = \frac{2\theta}{S} \cdot \sum_{i=1}^{n} L'_i \cdot I'_i$

Kde:

• $\theta$: merný odpor vodiča (napr. 0,0285 $\text{mm}^2\text{m}^{-1}$ pre meď, 0,031 $\text{mm}^2\text{m}^{-1}$ pre iné materiály).
• S: prierez vodiča [$\text{mm}^2$].
• $L'_i$: dĺžka i-teho úseku [m].
• $I'_i$: prúd pretekajúci i-tym úsekom [A].

Určenie prierezu vedenia

Ak je známy dovolený úbytok napätia ($\Delta U_{DOV}$), prierez vedenia S možno určiť pomocou upraveného vzťahu:

$S = \frac{2\theta}{\Delta U_{DOV}} \cdot \sum_{i=1}^{n} L'_i \cdot I'_i$

Príklad úsekových prúdov a dĺžok:

• $I'_n = I_n$
• $I'{n-1} = I{n-1} + I_n$
• $I'_2 = I_2 + I_3 + \dots + I_n$
• $I'_1 = I_1 + I_2 + I_3 + \dots + I_n$

Podobne pre odberové dĺžky (v origináli označené $L_i$ namiesto $L'_i$):

• $L_1 = L'_1$
• $L_2 = L'_1 + L'_2$
• $L_3 = L'_1 + L'_2 + L'_3$ *...atď.

Celkový úbytok napätia sa dá tiež vyjadriť ako súčet prúdových momentov:

$\Delta U = \frac{2\theta}{S} \cdot \sum_{i=1}^{n} L_i \cdot I_i$

Riešenie vedenia napájaného z dvoch strán

Jednosmerné vedenie napájané z dvoch strán (napr. z bodov A a B) je charakteristické tým, že obidva zdroje dodávajú do vedenia prúdy ($I_A$ a $I_B$). Ak sú napätia zdrojov rovnaké ($U_A = U_B$), potom je úbytok napätia medzi napájacími bodmi nulový ($\Delta U_{AB} = 0$).

Napätie je najväčšie v napájacích bodoch a klesá smerom k stredu vedenia, kde sa prúdy stretávajú. Toto miesto sa nazýva miesto maximálneho úbytku napätia (bod C).

Odvodenie vzťahov pre výpočet napájacích prúdov

Pre určenie miesta maximálneho úbytku napätia a rozloženia prúdov je potrebné vypočítať napájacie prúdy $I_A$ a $I_B$. Vychádzame z momentovej podmienky k bodu A a k bodu B.

Momentová podmienka k bodu A:

$I_B \cdot L_{AB} = I_1 \cdot L_{1A} + I_2 \cdot L_{2A} + \dots + I_N \cdot L_{NA}$

Z čoho vyplýva:

$I_B = \frac{\sum_{i=1}^{n} I_i \cdot L_{iA}}{L_{AB}}$

Momentová podmienka k bodu B:

$I_A \cdot L_{AB} = I_N \cdot L_{NB} + \dots + I_2 \cdot L_{BB} + I_1 \cdot L_{1B}$

Z čoho vyplýva:

$I_A = \frac{\sum_{i=1}^{n} I_i \cdot L_{iB}}{L_{AB}}$

Kde:

• $L_{AB}$: celková dĺžka vedenia medzi bodmi A a B.
• $L_{iA}$: vzdialenosť i-teho odberu od bodu A.
• $L_{iB}$: vzdialenosť i-teho odberu od bodu B.

Akonáhle zistíme miesto C (kde sa prúdy stretávajú a úsekový prúd sa mení na nulový alebo takmer nulový), rozdelíme vedenie na dve vedenia napájané z jednej strany a vypočítame maximálny úbytok napätia.

Príklad výpočtu vedenia napájaného z 2 strán

Zadanie: Vypočítajte S jednosmerného vedenia napájaného z 2 strán.

• $\theta = 0,031 \text{ mm}^2\text{m}^{-1}$ (poznámka: v origináli je uvedené $\text{mm}^2\text{cm}^{-1}$, ale pre typickú hodnotu merného odporu sa predpokladá $\text{mm}^2\text{m}^{-1}$)
• $U_A = U_B = 220\text{ V}$
• $U_{KIN} = 205\text{ V}$
• $\Delta U_{DOV} = U_A - U_{KIN} = 220\text{ V} - 205\text{ V} = 15\text{ V}$

Prúdové rozloženie (podľa schémy v zdroji):

• Vedenie má dĺžku 220 m.
• Odbery sú 10 A (50 m od A), 11 A (110 m od A), 15 A (150 m od A).

Výpočet napájacích prúdov:

$I_A = \frac{10\text{ A} \cdot (220-50)\text{ m} + 11\text{ A} \cdot (220-110)\text{ m} + 15\text{ A} \cdot (220-150)\text{ m}}{220\text{ m}} = \frac{10\text{ A} \cdot 170\text{ m} + 11\text{ A} \cdot 110\text{ m} + 15\text{ A} \cdot 70\text{ m}}{220\text{ m}} = \frac{1700 + 1210 + 1050}{220} = \frac{3960}{220} = 18\text{ A}$

$I_B = \frac{10\text{ A} \cdot 50\text{ m} + 11\text{ A} \cdot 110\text{ m} + 15\text{ A} \cdot 150\text{ m}}{220\text{ m}} = \frac{500 + 1210 + 2250}{220} = \frac{3960}{220} = 18\text{ A}$

Nájdenie miesta maximálneho úbytku napätia (C):

Začneme od bodu A. $I_A = 18\text{ A}$. Prvý odber 10 A vo vzdialenosti 50 m. Úsekový prúd po prvom odbere je $18 - 10 = 8\text{ A}$. Druhý odber 11 A vo vzdialenosti 110 m (od A). Úsekový prúd po druhom odbere je $8 - 11 = -3\text{ A}$.

Keďže prúd po druhom odbere zmenil smer, miesto C sa nachádza medzi druhým (11A) a tretím (15A) odberom. Presnejšie, nachádza sa medzi 110m a 150m od bodu A.

Výpočet prierezu (S):

V materiáloch sú uvedené dva vzorce a výpočty, ktoré sa mierne líšia vo vstupných hodnotách prúdov a dĺžok, ale výsledok $5,704\text{ mm}^2$ naznačuje rovnaké miesto C. Predpokladajme, že bod C je 110 m od A (miesto druhého odberu), a potom prúd z A tečie do C s úsekmi:

• $18\text{ A} \cdot 50\text{ m}$ (do prvého odberu)
• $8\text{ A} \cdot 60\text{ m}$ (medzi prvým a druhým odberom)

Ak by bol bod C inde, výpočet by sa mierne líšil. Podľa zdroja:

$S = \frac{2\theta}{\Delta U_{DOV}} \cdot \sum I_i L_{iA} = \frac{2 \cdot 0,031 \cdot 2\text{ mm}^2\text{m}^{-1}}{15\text{ V}} \cdot (15\text{ A} \cdot 70\text{ m} + 3\text{ A} \cdot 110\text{ m}) = 5,704\text{ mm}^2$

Poznámka: Hodnota 2 $mm^2$ v čitateli $\theta$ pravdepodobne znamená odpor pre 2 mm dĺžky, alebo je to konštanta pre typ vodiča. Reálne by to malo byť: $\frac{2\theta}{S} \cdot \sum I_i L_i$.

Predpokladá sa štandardizovaný prierez $S_N = 6\text{ mm}^2$.

Rozvetvené jednosmerné vedenie: princípy a výpočet

Rozvetvené vedenie je typ, kde existuje hlavné vedenie (kmeň) a z neho v určitých bodoch odbočujú vedľajšie vetvy. Prierez sa určuje metódou hlavného vedenia.

Postup určenia prierezu rozvetveného vedenia

1. Určenie hlavného vedenia: Hlavné vedenie tvorí kmeň a tá vetva, ktorá má v súčte najväčší prúdový moment (súčet $I_i \cdot L_i$).
2. Určenie prierezu hlavného vedenia (SHV): Uvažuje sa dovolený úbytok napätia a prúdy vo vedľajších vetvách sa prenesú do určitého bodu (napr. bod B).
3. Určenie prierezov vedľajších vetiev: Aby bolo možné určiť prierezy, je potrebné poznať úbytok napätia na kmeni. Ten sa vypočíta a od neho sa odvíjajú povolené úbytky pre vetvy.

Príklad výpočtu rozvetveného vedenia (Príklad 1)

Zadanie:

• $\theta = 0,0285 \text{ mm}^2\text{m}^{-1}$
• $\Delta U_{DOV} = 12\text{ V}$

Identifikácia hlavného vedenia:

• Súčet prúdových momentov vetvy "nad" bodom B (napr. ABC, ak B je odbočka pre D): $(8\text{ A} \cdot 20\text{ m} + 7\text{ A} \cdot 50\text{ m} + 15\text{ A} \cdot 75\text{ m}) = 1635\text{ A m}$
• Súčet prúdových momentov vetvy "pod" bodom B (napr. BCD): $(6\text{ A} \cdot 15\text{ m} + 7\text{ A} \cdot 35\text{ m}) = 405\text{ A m}$

Na základe týchto súčtov je hlavné vedenie ABC (predpokladá sa podľa diagramu v zdroji, že prvá vetva s 1635 A m je