Zhrnutie na Sčítanie a odčítanie v dvojkovej sústave

## Sčítanie a odčítanie binárnych čísel Dvojková sústava, známa aj ako **binárna sústava**, je číselná sústava s **radixom 2**. To znamená, že na reprezentáciu čísel používa iba dve číslice: 0 a 1. Táto sústava je základom, na ktorom fungujú všetky moderné digitálne počítače a elektronické zariadenia. Pochopenie základných aritmetických operácií, ako je sčítanie a odčítanie, v dvojkovej sústave je kľúčové pre každého, kto sa zaujíma o informatiku a digitálnu techniku. > ### Radix > **Radix** (alebo báza) číselnej sústavy určuje počet jedinečných číslic, ktoré sú k dispozícii na reprezentáciu čísel v danej sústave. Napríklad, desiatková sústava má radix 10 (číslice 0-9), binárna sústava má radix 2 (číslice 0-1). ### Sčítanie binárnych čísel Sčítanie binárnych čísel je v mnohých ohľadoch podobné sčítaniu, ktoré poznáte z desiatkovej sústavy. Hlavný rozdiel spočíva v tom, že pracujeme len s dvoma číslicami, 0 a 1, a preto sa prenosy (carry) dejú častejšie. Základné pravidlá pre sčítanie dvoch binárnych číslic sú: * $0 + 0 = 0$ * $0 + 1 = 1$ * $1 + 0 = 1$ * $1 + 1 = 10_2$ (čo znamená 0 a prenos 1 do vyššieho rádu) * $1 + 1 + 1 = 11_2$ (čo znamená 1 a prenos 1 do vyššieho rádu, ak sčítame tri jednotky, napríklad pri prenose z nižšieho rádu) Operácia sčítania sa vykonáva **stĺpcovou metódou**, rovnako ako v desiatkovej sústave. Začíname od najmenej významného bitu (najpravejšej číslice) a postupujeme smerom doľava. Ak súčet v danom stĺpci prekročí 1, nastane takzvaný **prenos (carry)** do nasledujúceho vyššieho rádu. Tento prenos sa pripočíta k čísliciam v ďalšom stĺpci. > ### Bit > **Bit** je základná jednotka informácie v digitálnych počítačoch. Môže nadobudnúť iba jednu z dvoch hodnôt, zvyčajne reprezentovaných ako 0 alebo 1. **Príklad sčítania:** Sčítajme binárne čísla $1011_2$ (čo je 11 v desiatkovej sústave) a $1101_2$ (čo je 13 v desiatkovej sústave). ``` 1011₂ + 1101₂ ------- ``` Postupujeme sprava doľava: 1. **Najpravejší stĺpec (najmenej významný bit):** $1 + 1 = 10_2$. Zapíšeme 0 a prenesieme 1. ``` ¹ 1011₂ + 1101₂ ------- 0 ``` 2. **Druhý stĺpec sprava:** 1 (prenos) $+ 1 + 0 = 10_2$. Zapíšeme 0 a prenesieme 1. ``` ¹¹ 1011₂ + 1101₂ ------- 00 ``` 3. **Tretí stĺpec sprava:** 1 (prenos) $+ 0 + 1 = 10_2$. Zapíšeme 0 a prenesieme 1. ``` ¹¹¹ 1011₂ + 1101₂ ------- 000 ``` 4. **Štvrtý stĺpec sprava:** 1 (prenos) $+ 1 + 1 = 11_2$. Zapíšeme 1 a prenesieme 1. ``` ¹¹¹ 1011₂ + 1101₂ ------- 11000₂ ``` Výsledok je $11000_2$. Pre kontrolu, v desiatkovej sústave $11 + 13 = 24$. Binárne $11000_2 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 16 + 8 = 24$. Výsledok je správny. Did you know, že sčítanie binárnych čísel je jednou z najčastejších operácií vykonávaných v procesoroch počítačov a je základom pre všetky komplexnejšie aritmetické operácie, ako je násobenie a delenie? ### Odčítanie binárnych čísel Odčítanie binárnych čísel je tiež podobné odčítaniu v desiatkovej sústave, avšak namiesto požičiavania si 10 (ako v desiatkovej sústave), si požičiavame 2. Tu sú základné pravidlá: * $0 - 0 = 0$ * $1 - 0 = 1$ * $1 - 1 = 0$ * $0 - 1 = 1$ s požičaním si (borrow) 1 z vyššieho rádu (čo znamená, že $0_2$ sa stane $10_2$, a $10_2 - 1 = 1$). **Príklad odčítania:** Odčítajme binárne čísla $1101_2$ (13 v desiatkovej sústave) a $101_2$ (5 v desiatkovej sústave). Pre zjednodušenie si $101_2$ môžeme predstaviť ako $0101_2$, aby mali obe čísla rovnaký počet bitov. ``` 1101₂ - 0101₂ ------- ``` Postupujeme sprava doľava: 1. **Najpravejší stĺpec:** $1 - 1 = 0$. ``` 1101₂ - 0101₂ ------- 0 ``` 2. **Druhý stĺpec sprava:** $0 - 0 = 0$. ``` 1101₂ - 0101₂ ------- 00 ``` 3. **Tretí stĺpec sprava:** $1 - 1 = 0$. ``` 1101₂ - 0101₂ ------- 000 ``` 4. **Štvrtý stĺpec sprava:**