Zhrnutie na Kruh a Kružnica: Základné Pojmy a Vzorce

## Úvod Kruh a kružnica sú základné pojmy v geometrii, ktoré popisujú tvary súvisiace s rovnakou vzdialenosťou od jedného stredu. Tento materiál vysvetľuje rozdiel medzi kružnicou a kruhom, základné vzťahy na výpočet obvodu a obsahu a obsahuje praktické príklady a úlohy s riešeniami. > **Definícia:** Kružnica je množina všetkých bodov $X$, ktorých vzdialenosť od pevného bodu $S$ (stred) je rovnaká a rovná sa polomeru $r$. Symbolicky: $k(S,r)$. > **Definícia:** Kruh je množina všetkých bodov $Y$, ktorých vzdialenosť od stredu $S$ je menšia alebo rovná polomeru $r$. Symbolicky: $K(S,r)$. ## Základné pojmy a vzťahy ### Polomer a priemer - **Polomer** $r$ je vzdialenosť od stredu ku ktorémukoľvek bodu na kružnici. - **Priemer** $d$ je najdlhší úsečkový spojok dvoch bodov kružnice, ktorý prechádza stredom. Platí $$d = 2r$$ ### Obvod kružnice (dĺžka kružnice) - Obvod kružnice je dĺžka jej obvodu. Vzťahy: $$o = 2\pi r$$ $$o = \pi d$$ Kde $\pi$ je Ludolfovo číslo, v praxi často zaokrúhľované na $\pi \approx 3{,}14$. ### Obsah kruhu - Obsah plochy ohraničenej kružnicou vypočítame podľa vzorca: $$S = \pi r^2$$ Ak poznáme priemer $d$, môžeme použiť $r = \dfrac{d}{2}$ a potom $$S = \pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi d^2}{4}$$ ## Porovnanie: kružnica vs. kruh | Vlastnosť | Kružnica | Kruh | |---|---:|---:| | Definícia | Množina bodov vo vzdialenosti $r$ od stredu | Množina bodov vo vzdialenosti \(\le r\) od stredu | | Symbol | $k(S,r)$ | $K(S,r)$ | | Ideálny výsledok | Dĺžka (obvod) | Plocha (obsah) | ## Praktické použitie a príklady - Meranie obvodu kolies, kruhových záhrad, plotov - Výpočet plochy kruhových dielov, sádrokartónových stropov, kruhových podložiek ### Príklad 1 (obvod) Zadanie: Vypočítajte dĺžku kružnice s polomerom $r = 9\ \mathrm{dm}$.\ Použijeme vzorec $$o = 2\pi r$$ Dosadenie a výpočet s $\pi \approx 3{,}14$: $$o = 2\cdot 3{,}14\cdot 9 = 56{,}52\ \mathrm{dm}$$ ### Príklad 2 (obvod z priemeru) Zadanie: Vypočítajte obvod kruhu s priemerom $d = 17\ \mathrm{cm}$.\ Použijeme vzorec $$o = \pi d$$ $$o = 3{,}14\cdot 17 = 53{,}38\ \mathrm{cm}$$ ### Príklad 3 (priemer z obvodu) Zadanie: Určite priemer kružnice s dĺžkou $o = 0{,}942\ \mathrm{mm}$.\ Použijeme $$o = \pi d$$ a vyjadríme $$d = \dfrac{o}{\pi}$$ Dosadenie: $$d = \dfrac{0{,}942}{3{,}14} = 0{,}30\ \mathrm{mm}$$ ### Príklad 4 (polomer z obvodu) Zadanie: Vypočítajte polomer kruhu s obvodom $o = 188{,}4\ \mathrm{km}$.\ Použijeme $$o = 2\pi r$$ a vyjadríme $$r = \dfrac{o}{2\pi}$$ Dosadenie: $$r = \dfrac{188{,}4}{2\cdot 3{,}14} = 30\ \mathrm{km}$$ ### Príklad 5 (obsah z polomeru) Zadanie: Vypočítajte obsah kruhu s polomerom $r = 41\ \mathrm{cm}$.\ Použijeme $$S = \pi r^2$$ $$S = 3{,}14\cdot 41^2 = 3{,}14\cdot 1681 = 5278{,}34\ \mathrm{cm}^2$$ ### Príklad 6 (obsah z priemeru) Zadanie: Vypočítajte obsah kruhu s priemerom $d = 32\ \mathrm{dm}$.\ Polomer: $$r = \dfrac{d}{2} = 16\ \mathrm{dm}$$ Potom $$S = \pi r^2 = 3{,}14\cdot 16^2 = 3{,}14\cdot 256 = 803{,}84\ \mathrm{dm}^2$$ ### Príklad 7 (polomer z obsahu) Zadanie: Nájdite polomer kruhu s obsahom $S = 50{,}24\ \mathrm{m}^2$.\ Použijeme $$S = \pi r^2$$ a vyjadríme $$r^2 = \dfrac{S}{\pi}$$ Dosadenie: $$r^2 = \dfrac{50{,}24}{3{,}14} = 16$$ Preto $$r = 4\ \mathrm{m}$$ ## Tipy na riešenie úloh - Pred dosadením si vždy skontrolujte jednotky (cm, dm, m, km). - Ak máte priemer, rýchlo získate polomer delením dvoma: $r = \dfrac{d}{2}$. - Ak potrebujete použiť $\pi$, pre školské výpočty použite $\pi \approx 3{,}14$ alebo presnejšie $\pi \approx 3{,}14159$ podľa potreby. Fun fact: Ludolfovo číslo $\pi$ je iracionálne číslo, čo znamená, že jeho desatinný rozvoj je nekonečný a neperiodický ## Záver Kružnica a kruh majú jednoduché a pevné vzťahy medzi polomerom, priemerom, obvodom a obsahom. Zapamätajte si hlavné vzorce $$o = 2\pi r\,,\quad o = \pi d\,,\quad S = \pi r^2$$ a postupujte systematicky pri prevodoch jednotiek a vyjadrovaní neznámych.