Zhrnutie na Geometrické konštrukcie, transformácie a meranie

## Úvod Miera a meranie sú základné pojmy, ktoré umožňujú kvantifikovať veľkosti v geometrii aj v bežnom živote. Cieľom tohto materiálu je objasniť pojem dĺžky, uhla, obvodu, obsahu a objemu, ukázať rozdiel medzi porovnateľnými a neporovnateľnými úsečkami, predstaviť Archimedovu axiómu a princípy odhadu a jemnejšieho merania pomocou sietí a Jordanovej dekompozície. ## Základné pojmy ### Dĺžka úsečky > **Definícia:** Dĺžka úsečky $AB$ je miera vzdialenosti medzi bodmi $A$ a $B$. - Označenie úsečky: $AB$ alebo \overline{AB} - Dĺžka úsečky sa zapisuje ako $|AB|$ alebo $d(A,B)$ - Jednotky môžu byť **vlastné** (napr. krok, krok pre historické alebo odhadové merania) alebo **univerzálne** (napr. mm, cm, m, km) Praktický príklad: Meranie dĺžky stola v metrech: $|AB| = 1.2\ \mathrm{m}$. ### Archimedova axióma > **Definícia:** Archimedova axióma: opakovaným prikladaním konečnej jednotky možno predĺžiť alebo skrátiť ľubovoľne danú úsečku tak, aby sa jednotka stala buď väčšou, alebo menšou než úsečka. - Táto axióma zabezpečuje, že medzi jednotkami a libovolnou dĺžkou neexistuje „nekonečný“ alebo „infinitný“ rozdiel: konečná jednotka sa dá opakovane použiť pre porovnanie. ### Súmerateľnosť a nesúmerateľnosť > **Definícia:** Dve úsečky sú **súmerateľné**, ak dĺžku jednej možno vyjadriť celočíselným násobkom menšej jednotky alebo zlomkom v konečnom desatinnom či racionálnom tvare; sú **nesúmerateľné**, ak takéto presné celočíselné/konštrukčné porovnanie neexistuje. - Príklad súmerateľnosti: ak má jednotka dĺžky $1\ \mathrm{m}$ a úsečka má dĺžku $0.5\ \mathrm{m}$, sú súmerateľné. - Príklad nesúmerateľnosti v geometrii: dĺžka úsečky, ktorá sa rovná úsečke s dĺžkou $1$ a násobená $ oot 2 \of{2}$ často nevyjadríme ako racionálne násobky jednotky. ### Miera uhla > **Definícia:** Uhol je miera rotácie medzi dvoma polpriamkami so spoločným počiatkom. - Jednotky uhla: **stupne** a **radiány** - Bežné stupne: $90^\circ$, $180^\circ$, $360^\circ$ - Radiány: $\pi$, $2\pi$ (napr. pravý uhol $= \frac{\pi}{2}$) Príklad: Uhol $\alpha = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ rad. ## Obvod, obsah a objem - **Obvod**: dĺžka hranice mnohouholníka alebo krivky. Napríklad obvod štvorca so stranou $a$ je $P = 4a$. - **Obsah (plocha)**: "veľkosť časti roviny", napr. obsah štvorca so stranou $a$ je $S = a^2$. - **Objem**: priestorový analog obsahu, napr. objem krychle so stranou $a$ je $V = a^3$. Tabuľka: porovnanie základných mier | Miera | Definícia | Príklad | Vzorec | |---|---|---:|---:| | Obvod | Dĺžka hranice | štvorec so stranou $a$ | $P = 4a$ | | Obsah | Veľkosť časti roviny | štvorec so stranou $a$ | $S = a^2$ | | Objem | Priestorový obsah | krychľa so stranou $a$ | $V = a^3$ | Fun fact: Archimedés v staroveku porovnával plochy a objemy pomocou metódy vyčerpania, čo je predchodca integrálneho počtu. ## Jordanova dekompozícia (Jordanova obálka a jadro) > **Definícia:** Jordanova dekompozícia (pri meraní plôch) zahŕňa pojem **jadra** (vnútorný odhad) a **obalu** (vonkajší odhad) pomocou hraníc tvorených dlaždicami (sieťou). S jemnením siete sa odhady približujú k skutočnej miere. - Postup: pokryjeme množinu konvexnými alebo nekonvexnými dlaždicami (malými obdĺžnikmi či štvorčekmi), spočítame plochu pokrytých dlaždíc pre vonkajší odhad a vnútorný odhad platenia pre dlaždice, ktoré sú úplne vnútri množiny. - Ako sa veľkosť dlaždice zmenšuje, rozdiel medzi obalom a jadrom klesá. Praktický príklad: Numerické odhadovanie obsahu neformálnej plochy pomocou mriežky pixelov v obrázku. ### Jemné meranie pomocou sietí - Jemnejšie sieťovanie znamená menšie jednotky merania a väčšie presnosti. - Pre danú množinu $A$ nech sú vnútorný odhad $I_n$ a vonkajší odhad $O_n$ pre sieť s veľkosťou bunky $\delta_n$. Potom pri $\delta_n o 0$ platí $I_n \to \mu(A)$ a $O_n \to \mu(A)$, ak mieru definujeme (intuícia smerom k miere Lebesgue). Did you know that pri odhadovaní plôch digitálnymi obrazmi sa používa antialiasing a subpixelová analýza na zníženie chyby od hrubého orez