Zhrnutie na Dvojková a šestnástková sústava

## Úvod do číselných sústav Číselné sústavy sú základným spôsobom, ako reprezentovať čísla pomocou sady symbolov alebo cifier. V bežnom živote sme zvyknutí na **desiatkovú sústavu (dekadickú)**, ktorá používa desať cifier (0 až 9). Avšak v informatike a digitálnej technike sú kľúčové iné sústavy, najmä **dvojková (binárna)**, **osmičková (oktálová)** a **šestnástková (hexadecimálna)**. Pochopenie týchto sústav a schopnosť prevádzať medzi nimi je nevyhnutným základom pre prácu s počítačmi a digitálnymi dátami. ### Pozičné číselné sústavy Väčšina číselných sústav, vrátane všetkých spomenutých, sú **pozičné číselné sústavy**. To znamená, že **hodnota cifry v čísle závisí od jej pozície**. > **Pozičná číselná sústava**: Systém, kde hodnota cifry je určená nielen jej symbolom, ale aj jej pozíciou v rámci čísla. Každá pozícia má pridelenú špecifickú váhu, ktorá je mocninou základu (bázy) sústavy. Každá pozícia má svoju **váhu**, ktorá je mocninou **základu (bázy)** sústavy. Základ sústavy zároveň určuje počet jedinečných cifier, ktoré sú v danej sústave k dispozícii. Napríklad v desiatkovej sústave (základ 10) má číslo 345 hodnotu, ktorá sa vypočíta ako: $$3 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 = 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 1 = 300 + 40 + 5 = 345$$ ### Dvojková sústava (binárna) Dvojková sústava je najzákladnejšou číselnou sústavou v digitálnej technike. * **Základ:** 2 * **Cifry:** 0 a 1 Každá cifra v dvojkovom čísle sa nazýva **bit (binary digit)**. Počítače pracujú s elektrickými signálmi, ktoré môžu byť buď zapnuté (reprezentované ako 1) alebo vypnuté (reprezentované ako 0), čo dokonale zodpovedá dvojkovej sústave. Skupiny bitov tvoria väčšie jednotky, ako sú **bajty** (8 bitov), kilobajty, megabajty atď. Did you know, že celý internet funguje na princípe posielania miliárd bitov denne? ### Osmičková sústava (oktálová) Osmičková sústava je menej bežná v priamom použití dnes, ale má svoje historické a praktické výhody. * **Základ:** 8 * **Cifry:** 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Historicky sa používala v niektorých počítačových systémoch, pretože umožňuje kompaktnejšiu reprezentáciu dvojkových čísel. Každá oktálová cifra môže reprezentovať presne **tri bity** ($2^3 = 8$). ### Šestnástková sústava (hexadecimálna) Šestnástková sústava je veľmi často používaná v programovaní, počítačovej grafike a pri práci s pamäťou. * **Základ:** 16 * **Cifry:** 0 až 9 a písmená A až F * A = 10 * B = 11 * C = 12 * D = 13 * E = 14 * F = 15 Táto sústava poskytuje ešte kompaktnejšiu reprezentáciu dvojkových čísel. Každá hexadecimálna cifra môže reprezentovať presne **štyri bity** ($2^4 = 16$). ## Prevod čísel medzi sústavami Schopnosť prevádzať čísla medzi rôznymi číselnými sústavami je kľúčová. Existujú všeobecné metódy pre prevod z ľubovoľnej sústavy do desiatkovej a z desiatkovej do ľubovoľnej sústavy, ako aj špecifické, efektívne metódy pre prevody medzi dvojkovou, osmičkovou a šestnástkovou sústavou. ### Prevod z inej sústavy do desiatkovej sústavy Prevod čísla z ľubovoľnej pozičnej sústavy so základom $b$ do desiatkovej sústavy sa vykonáva pomocou sumy súčinov každej cifry a mocniny základu $b$, pričom mocnina základu zodpovedá pozícii cifry. Pre číslo $c_n c_{n-1} \dots c_1 c_0$ v sústave so základom $b$ je jeho desiatková hodnota: $$ \text{Desiatková hodnota} = c_n \cdot b^n + c_{n-1} \cdot b^{n-1} + \dots + c_1 \cdot b^1 + c_0 \cdot b^0 $$ **Príklad 1: Prevod z dvojkovej do desiatkovej sústavy** Preveďte dvojkové číslo $11010_2$ do desiatkovej sústavy. Postup: 1. Identifikujte pozície cifier (začíname od 0 sprava): $1^4 1^3 0^2 1^1 0^0$ 2. Vynásobte každú cifru príslušnou mocninou základu 2 a sčítajte výsledky: $$1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$$ $$= 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1$$ $$= 16 + 8 + 0 + 2 + 0$$ $$= 26$$ Výsledok: $11010_2 = 26_{10}$ **Príklad 2: Prevod z osmičkovej do desiat