Test na Dotyčnica ku grafu a geometrický význam derivácie

Otázka 1: Ak je derivácia funkcie f′(x) v danom intervale záporná, znamená to, že funkcia f(x) na tomto intervale rastie.

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov, ak je f′(x) < 0 pre všetky x z daného intervalu, potom je funkcia f(x) na tomto intervale klesajúca, nie rastúca. Kladná smernica dotyčnice (f′(x) > 0) indikuje rastúcu funkciu.

Otázka 2: Je možné určiť presnú rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode [x₀, f(x₀)], ak poznáme hodnotu derivácie funkcie v tomto bode, t.j. f′(x₀)?

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov, ak poznáme smernicu dotyčnice f′(x₀) a bod [x₀, f(x₀)], ktorým dotyčnica prechádza, môžeme ľahko napísať jej rovnicu pomocou vzorca y − f(x₀) = f′(x₀) · (x − x₀). Tento vzorec umožňuje určiť presnú rovnicu dotyčnice.

Otázka 3: Ktoré tvrdenie správne opisuje správanie funkcie v intervale, kde je jej prvá derivácia záporná?

A. Funkcia je na danom intervale rastúca.

B. Smernica dotyčnice ku grafu funkcie je na danom intervale kladná.

C. Funkcia je na danom intervale klesajúca.

D. Graf funkcie stúpa zľava doprava.

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov, ak je f′(x) < 0 pre všetky x z daného intervalu, potom je funkcia f(x) na tomto intervale klesajúca. Smernica dotyčnice je záporná, čo znamená, že graf funkcie klesá zľava doprava.

Otázka 4: Čo predstavuje smernica dotyčnice ku grafu funkcie f(x) v bode [x₀, f(x₀)] v kontexte limitného prechodu smernice sečnice?

A. Je to súčet smerníc všetkých sečníc prechádzajúcich bodom [x₀, f(x₀)].

B. Je definovaná ako limita smernice sečnice, keď Δx sa blíži k nule.

C. Je rovná priemeru smerníc dvoch sečníc prechádzajúcich rôznymi bodmi okolo [x₀, f(x₀)].

D. Je to hodnota funkcie f(x) v bode x₀ vydelená Δx.

Vysvetlenie: Podľa študijného materiálu, smernica dotyčnice je definovaná ako limita smernice sečnice, keď Δx → 0. Priamka prechádzajúca dvoma bodmi P=[x₀, f(x₀)] a Q=[x₀ + Δx, f(x₀ + Δx)] je sečnica, a keď sa bod Q približuje k bodu P (teda Δx sa blíži k nule), sečnica sa mení na dotyčnicu. Táto limita smernice sečnice je práve definíciou derivácie funkcie v bode x₀, ktorá geometricky predstavuje smernicu dotyčnice.

Otázka 5: Sečnica pretína graf funkcie v dvoch bodoch, zatiaľ čo dotyčnica sa ho v danom bode len dotýka.

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov, sečnica pretína graf v dvoch bodoch, zatiaľ čo dotyčnica sa ho v danom bode len „dotýka“.