Test na Derivácia funkcie

Otázka 1: Je správne derivovať súčin dvoch funkcií ako súčin ich derivácií?

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov je derivovanie súčinu ako súčin derivácií nesprávne. Správne pravidlo pre deriváciu súčinu funkcií je (u · v)′ = u′v + uv′.

Otázka 2: Derivácia funkcie f′(x₀) predstavuje smernicu dotyčnice ku grafu funkcie f v bode (x₀, f(x₀)).

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa definície derivácie ako limity podielu diferencií, derivácia f′(x₀) predstavuje smernicu dotyčnice ku grafu funkcie f v bode (x₀, f(x₀)).

Otázka 3: Ktorá z nasledujúcich možností správne popisuje častú chybu, ktorej sa študenti dopúšťajú pri aplikácii reťazového pravidla pre derivovanie?

A. Derivovanie zloženej funkcie ako súčtu derivácií vonkajšej a vnútornej funkcie.

B. Zabudnutie vynásobiť deriváciou „vnútornej“ funkcie po derivovaní „vonkajšej“ funkcie.

C. Použitie reťazového pravidla namiesto pravidla pre deriváciu súčinu.

D. Derivovanie vnútornej funkcie a zabudnutie na deriváciu vonkajšej funkcie.

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov, častou chybou pri derivovaní zloženej funkcie je derivovať len „vonkajšiu“ funkciu a zabudnúť vynásobiť deriváciou „vnútornej“ funkcie. Príklad (sin(2x))′ nie je cos(2x), ale cos(2x) · (2x)′ = 2cos(2x), čo potvrdzuje, že vynechanie násobenia deriváciou vnútornej funkcie je chyba.

Otázka 4: Aké tvrdenia vyplývajú zo vzťahu medzi grafom pôvodnej funkcie f(x) a jej druhej derivácie f″(x) podľa interaktívnej simulácie?

A. Ak je f″(x) kladná, pôvodná funkcia f(x) je konvexná.

B. Ak je f″(x) záporná, pôvodná funkcia f(x) je konkávna.

C. Inflexné body funkcie f(x) sa zhodujú s priesečníkmi grafu f″(x) s osou x, kde sa mení znamienko druhej derivácie.

D. Lokálne extrémy funkcie f(x) sa zhodujú s priesečníkmi grafu f″(x) s osou x.

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov, keď je f(x) konvexná, f″(x) je kladná (možnosť 0). Keď je f(x) konkávna, f″(x) je záporná (možnosť 1). Inflexné body f(x) sa zhodujú s priesečníkmi grafu f″(x) s osou x, kde sa mení znamienko druhej derivácie (možnosť 2). Možnosť 3 je nesprávna, pretože priesečníky grafu f′(x) s osou x, nie f″(x), zodpovedajú lokálnym extrémom funkcie f(x).

Otázka 5: Ak je prvá derivácia funkcie v bode x₀ nulová a druhá derivácia v tom istom bode je menšia ako nula, funkcia má v x₀ lokálne minimum.

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa testu druhej derivácie, ak je prvá derivácia funkcie v bode x₀ nulová a druhá derivácia v tom istom bode je menšia ako nula (f″(x₀) < 0), funkcia má v x₀ lokálne maximum, nie lokálne minimum.