Zhrnutie na Cvičenia z verbálneho a analytického uvažovania
Cvičenia z verbálneho a analytického uvažovania: Kompletný rozbor
Úvod
Tento materiál sa zaoberá porovnávaním algebraických výrazov a praktickým riešením úloh, kde treba rozhodnúť, ktorá z dvoch hodnôt je väčšia, menšia alebo či sú rovnaké. Zameriame sa na jednoduché pravidlá, prevod slovných opisov na matematické výrazy a niekoľko typických príkladov.
Definícia: Porovnávanie výrazov znamená zistiť, či platí $a>b$, $a<b$ alebo $a=b$ pre dva dané výrazy $a$ a $b$.
Základné princípy porovnávania
1) Prepočet slovného zadania na matematiku
- Prečítajte pozorne definíciu a preveďte ju na výraz. Napríklad „70 % z $x$“ zapíšeme $0{,}70x$ alebo presnejšie $\frac{70}{100}x$.
- Ak sú v zadanej informácii percentá, prevedieme ich na zlomok alebo desatinné číslo: $70% = \frac{70}{100} = 0{,}7$.
2) Jednoduché algebraické úpravy
- Zjednodušte obe strany porovnania rovnakými operáciami, ak sa operácia týka oboch strán (sčítanie, násobenie kladným číslom).
- Pri násobení alebo delení záporným číslom sa smer nerovnosti obráti.
Poznámka: Ak sa v zadaniu vyskytujú premenné bez ďalších podmienok (môžu byť kladné, záporné alebo nulové), niekedy nie je možné jednoznačne porovnať výrazy.
Postup riešenia typických úloh
- Zapíšte oba výrazy matematicky.
- Upravte každý výraz do najjednoduchšej formy.
- Ak je to možné, vyjadrite pomer alebo rozdiel a analyzujte podľa podmienok (napr. premenné sú kladné).
- Rozhodnite: ľavo väčšia, vpravo väčšia, rovnaké, alebo nedá sa určiť.
Príklady z textu (rozbor úloh)
Úloha 40
Zadanie: „Symetrické číslo" je také, ktoré sa pri čítaní sprava doľava rovná čítaniu zľava doprava a nekončí nulou. Počet kladných trojciferných symetrických čísel.
Riešenie: Trojciferné symetrické číslo má tvar $aba$, kde $a$ je stotina a jednotka, $b$ je desiatka. Preto $a\in{1,2,\dots,9}$, $b\in{0,1,\dots,9}$. Počet možností je $9\cdot 10=90$.
Porovnanie v úlohe: pravdepodobne sa porovnáva tento počet s číslom $100$ (text uvádza "počet kladných trojciferných symetrických čísel 100"). Skutočný počet je $90$, takže ľavá hodnota ($90$) je menšia než $100$.
Úloha 41
Zadanie: „Najväčšie kladné dvojciferné prvočíslo, ktorého prvá číslica zľava je $\tfrac{2}{3}$ najmenšieho kladného trojciferného prvočísla."
Riešenie krokov:
- Najmenšie kladné trojciferné prvočíslo je $101$.
- Prvá cifra zľava tohto prvočísla je $1$.
- Hovorí sa, že prvá cifra dvojciferného prvočísla je $\tfrac{2}{3}$ z tejto cifry: $\tfrac{2}{3}\cdot 1 = \tfrac{2}{3}$, čo nie je celé číslo, takže interpretácia môže byť nejasná.
Záver: Zadanie je nejednoznačné, pretože prvá cifra musí byť celé číslo od $1$ do $9$, ale $\tfrac{2}{3}$ nie je možná. Preto nie je možné jednoznačne určiť hodnotu.
Úloha 42
Zadanie: Čísla $x$ a $y$ sú kladné. "70 % z $x$ má rovnakú hodnotu ako 35 % z $y$." Potom porovnajte výrazy $\frac{7x}{3}$ a $\frac{3y}{?}$ (text obsahuje chybu: "7 x 3 y"). Predpokladajme, že porovnávané výrazy sú $\frac{7x}{3}$ a $y$ alebo podobne.
Správne zformulovanie: 70 % z $x$ rovná sa 35 % z $y$ znamená $$0{,}7x = 0{,}35y$$ Z toho dostaneme $$\frac{7}{10}x = \frac{35}{100}y$$ $$\frac{7}{10}x = \frac{7}{20}y$$ Vynásobíme $20$: $$14x = 7y$$ $$2x = y$$ Teda $y=2x$. Ak porovnávame napríklad $\frac{7x}{3}$ a $\frac{3y}{?}$, treba mať presný výraz. Ak porovnáme $\frac{7x}{3}$ a $y$, vďaka $y=2x$ platí $$\frac{7x}{3} ;\text{versus}; 2x$$ Porovnajme pomer: $$\frac{7x}{3} - 2x = \left(\frac{7}{3}-2\right)x = \frac{1}{3}x>0$$ Preto $\frac{7x}{3}>2x$ ak $x>0$.
Úloha 43
Zadanie: Aritmetický priemer koreňov rovnice $x^2-6x+8=0$ a číslo $4$.
Riešenie: Koreňmi sú riešenia kvadratickej rovnice. Nájdeme ich: $$x^2-6x+8=0$$ Rozklad: $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, takže korene sú $x=2$ a $x=4$. Aritmetický priemer koreňov je $$\frac{2+4}{2}=3$$ Porovnanie s $4$: $3<4$, teda ľavá hodnota je menšia.
Úloha 44
Zadanie: Pravouhlý trojuholník s odvesnami $a$, $b$ a preponou $c$ má $c=5$ cm. Porovnajte obsah obdĺžnika so stranami $a$ a $c$ s obsahom obdĺžnika so stranami $b$ a $c$.
Riešenie: Obsahy sú
Zaregistruj sa pre celé zhrnutieUž máš účet? Prihlásiť sa
Algebraické porovnania
Klíčová slova: Vzdelávanie, Spoločnosť a politika, Cestovanie, Životné prostredie, Veda a matematika - fyzika a vesmír, Kultúra a životný štýl, Veda a matematika - matematické analýzy a štatistika, Veda a matematika - algebra a porovnávanie výrazov, Veda a matematika - matematické úlohy a analýzy, Veda a matematika - logické a slovné úlohy
Klíčové pojmy: Prepisovať slovné zadanie na matematické výrazy, Percentá prevádzať na zlomky: $70\%=\frac{70}{100}=0{,}7$, Pri násobení záporným číslom obrátiť smer nerovnosti, Bez podmienok na premenné nie je porovnanie jednoznačné, Pre porovnanie jednotiek preveďte na rovnakú jednotku, Aritmetický priemer koreňov kvadratickej rovnice je $\frac{r_1+r_2}{2}$, V konkrétnych úlohách skúste dosadiť príklady splňujúce podmienky, Pri riešení písať kroky a skontrolovať logiku zadania