Test na Ako z grafu funkcie spoznať graf derivácie
Ako z grafu funkcie spoznať graf derivácie: Sprievodca
Test: Vzťah grafu funkcie a grafu jej derivácie, Interpretácia grafov derivácií, Analýza grafov derivácií
20 otázok
Otázka 1: V inflexnom bode funkcie f(x) jej derivácia f'(x) nemôže mať lokálne maximum ani lokálne minimum.
A. Áno
B. Nie
Vysvetlenie: Podľa materiálov má funkcia f'(x) v inflexnom bode funkcie f(x) lokálny extrém (maximum alebo minimum).
Otázka 2: Ktoré tvrdenie najpresnejšie popisuje geometrický význam derivácie funkcie f(x) v danom bode x podľa poskytnutých študijných materiálov?
A. Hodnota derivácie f'(x) v bode x je rovná ploche pod grafom funkcie f(x) od počiatku po bod x.
B. Hodnota derivácie f'(x) v bode x udáva sklon dotyčnice ku grafu funkcie f(x) v bode [x, f(x)].
C. Hodnota derivácie f'(x) v bode x určuje, či je funkcia f(x) párna alebo nepárna v danom bode.
D. Hodnota derivácie f'(x) v bode x reprezentuje priesečník grafu funkcie f(x) s osou y.
Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov je derivácia funkcie „mapou sklonov“ pôvodnej funkcie. Konkrétne, „hodnota derivácie f'(x) v ľubovoľnom bode x je rovná smernici (sklonu) dotyčnice ku grafu funkcie f(x) v bode [x, f(x)]“.
Otázka 3: Mierka, v ktorej je nakreslený graf derivácie, neovplyvňuje vizuálne porovnanie sklonov.
A. Áno
B. Nie
Vysvetlenie: Študijné materiály explicitne uvádzajú, že grafy môžu byť nakreslené v rôznych mierkach, čo môže skresliť vizuálne porovnanie sklonov. Preto je dôležité sústrediť sa na znamienka a nulové body, nie na presné číselné hodnoty sklonov, pokiaľ nie sú explicitne dané.
Otázka 4: V bodoch, kde má funkcia lokálne extrémy, je hodnota jej prvej derivácie nulová.
A. Áno
B. Nie
Vysvetlenie: Príklady v študijných materiáloch ukazujú, že v bodoch lokálnych extrémov funkcie f(x) je hodnota jej prvej derivácie f'(x) rovná nule. Napríklad, pri kvadratickej funkcii f(x) = x² má v bode x = 0 lokálne minimum a f'(0) = 0. Podobne pri kubickej funkcii f(x) = x³ - 3x má lokálne extrémy v x = -1 a x = 1, kde f'(-1) = 0 a f'(1) = 0. Aj pri sínusovej funkcii sin(x) sú lokálne extrémy v bodoch, kde cos(x) = 0.
Otázka 5: Ktoré z nasledujúcich tvrdení o vzťahu medzi funkciou f(x) = sin(x) a jej deriváciou f'(x) = cos(x) je správne?
A. Keď funkcia sin(x) rastie, jej derivácia cos(x) je záporná.
B. V bodoch lokálnych extrémov funkcie sin(x) má funkcia cos(x) hodnotu nula.
C. Inflexné body funkcie sin(x) zodpovedajú bodom, kde má funkcia cos(x) lokálne extrémy.
D. Funkcia sin(x) má lokálne maximum tam, kde má funkcia cos(x) nulový bod a rastie.
Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov, keď sin(x) rastie (napr. na intervale (-π/2, π/2)), cos(x) je kladný. Preto je prvé tvrdenie nesprávne. V bodoch lokálnych extrémov sin(x) (napr. x = π/2, x = 3π/2) je cos(x) = 0, čo potvrdzuje druhé tvrdenie. V inflexných bodoch sin(x) (napr. x = 0, x = π) má cos(x) lokálne extrémy (maxima alebo minima), čo potvrdzuje tretie tvrdenie. Študijné materiály uvádzajú, že tam, kde má sin(x) maximum, má cos(x) nulový bod a klesá, nie rastie, čo robí štvrté tvrdenie nesprávnym.