Teste sobre Multiplicação de um vetor por um escalar e colinearidade

Pergunta 1: A multiplicação de um vetor por um escalar *k* sempre resulta em um novo vetor com a mesma direção do vetor original, independentemente do valor de *k*.

A. Sim

B. Não

Explicação: A direção do vetor resultante *k*·**a** depende do valor do escalar *k*. Se *k* < 0 (negativo), o vetor *k*·**a** tem a direção oposta à do vetor original **a**. Se *k* > 0, ele mantém a mesma direção. Se *k* = 0, resulta no vetor nulo.

Pergunta 2: Dado um vetor **u** = (-3, 5) em um sistema de coordenadas cartesianas e um escalar *k* = -2, qual será o vetor resultante *k*·**u** e como suas componentes são calculadas?

A. O vetor resultante é (-5, 3), calculado somando-se o escalar a cada componente do vetor original.

B. O vetor resultante é (6, -10), calculado multiplicando-se cada componente do vetor original pelo escalar.

C. O vetor resultante é (-3, 5), pois a multiplicação por um escalar negativo não altera as componentes, apenas a direção.

D. O vetor resultante é (6, 10), calculado multiplicando-se o valor absoluto do escalar a cada componente do vetor original.

Explicação: Para multiplicar um vetor por um escalar *k* algebricamente, multiplicamos cada componente do vetor por esse escalar. Se **u** = (u₁, u₂) e *k* é o escalar, então *k*·**u** = (*k*·u₁, *k*·u₂). Dada **u** = (-3, 5) e *k* = -2, o cálculo é: *k*·**u** = (-2·(-3), -2·5) = (6, -10). Portanto, a segunda opção está correta.

Pergunta 3: Os vetores **u** = (2, 3) e **w** = (4, 6) não são colineares.

A. Sim

B. Não

Explicação: Os materiais de estudo demonstram que, ao procurar um escalar *k* tal que **w** = *k*·**u**, obtém-se (4, 6) = *k*·(2, 3). Comparando as componentes, 4 = 2*k* e 6 = 3*k*, resultando em *k* = 2 para ambas as equações. Como um valor consistente para *k* foi encontrado, os vetores são, de fato, colineares. Portanto, a afirmação de que não são colineares é falsa.

Pergunta 4: O vetor resultante da multiplicação -1,5·**a**, onde **a** = (3, -2), é (-4,5, 3).

A. Sim

B. Não

Explicação: De acordo com o 'Exemplo Resolvido Detalhadamente', para calcular -1,5·**a** com **a** = (3, -2), multiplicamos cada componente de **a** pelo escalar -1,5. Isso resulta em (-1,5·3, -1,5·(-2)), que é igual a (-4,5, 3).

Pergunta 5: Qual das seguintes afirmações descreve corretamente uma propriedade da multiplicação escalar de vetores, de acordo com o material de estudo?

A. Se 0·**a** = **a**, então o vetor **a** é o vetor nulo.

B. A ordem da multiplicação por múltiplos escalares não altera o resultado, ou seja, (*k*·*m*)·**a** = *k*·(*m*·**a**).

C. Multiplicar um vetor pelo escalar 1 resulta no vetor nulo.

D. Um escalar pode ser distribuído sobre a soma de dois vetores, como em *k*·(**a** + **b**) = *k*·**a** + *k*·**b**.

Explicação: A opção 0 está incorreta porque a propriedade da Multiplicação por Zero afirma que 0·**a** = **0** (vetor nulo), independentemente de **a**. A afirmação na opção implica que se o resultado é o próprio **a**, então **a** deve ser o vetor nulo, mas a propriedade fundamental é que qualquer vetor multiplicado por zero resulta no vetor nulo. A opção 1 está correta. A propriedade da Associatividade estabelece que a ordem de multiplicação por múltiplos escalares não importa, ou seja, (*k*·*m*)·**a** = *k*·(*m*·**a**). A opção 2 está incorreta. A propriedade do Elemento Identidade afirma que multiplicar um vetor pelo escalar 1 não altera o vetor (1·**a** = **a**), e não que resulta no vetor nulo. A opção 3 está correta. A propriedade da Distributividade em relação à adição de vetores afirma que um escalar pode ser distribuído sobre a soma de dois vetores, como *k*·(**a** + **b**) = *k*·**a** + *k*·**b**.