Resumo de Modelos de Oligopólio e Concorrência Imperfeita

## Introdução Cartéis são acordos entre empresas concorrentes para coordenar preços ou quantidades com o objetivo de aumentar os lucros conjuntos. Neste material, veremos como o problema do cartel é resolvido quando as empresas decidem cooperar em relação às quantidades (modelo de maximização conjunta), quais condições tornam o cartel sustentável e um exemplo aplicado com demanda e custos concretos. > Definição: Um cartel é um acordo explícito entre empresas de um mesmo mercado para fixar preços ou quantidades e dividir o mercado com o objetivo de maximizar os lucros conjuntos. ## Formulação do Problema do Cartel (Duas Empresas) Consideramos duas empresas idênticas que produzem quantidades $q_i$ e $q_j$. A demanda inversa de mercado é linear e o preço depende da quantidade agregada $Q=q_i+q_j$. ### Receitas e Lucros de Cada Empresa - Preço: $P(Q)=a-bQ$. - Receita Total da empresa $i$: $$IT_i=P(Q)\,q_i=(a-b(q_i+q_j))\,q_i$$ Desenvolvendo: $$IT_i=aq_i-bq_i^2-bq_iq_j$$ - Custos Totais da empresa $i$: assumimos $CT_i=c\,q_i$ (custos lineares). - Lucro da empresa $i$: $$\pi_i=IT_i-CT_i=aq_i-bq_i^2-bq_iq_j-cq_i$$ Que pode ser reorganizado como: $$\pi_i=(a-c)q_i-bq_i^2-bq_iq_j$$ > Definição: Lucro conjunto do cartel é a soma dos lucros de todas as empresas que o formam: $\pi=\pi_i+\pi_j$. ### Maximização Conjunta do Cartel O cartel escolhe $(q_i,q_j)$ para maximizar o lucro agregado $$\pi=(a-c)(q_i+q_j)-b(q_i^2+q_j^2)-2bq_iq_j$$ É conveniente escrevê-lo em termos da soma $Q=q_i+q_j$: $$\pi=(a-c)Q-b\,Q^2$$ Portanto, a maximização em relação a $Q$ resulta na condição $$\frac{d\pi}{dQ}=a-c-2bQ=0$$ e a quantidade agregada ótima do cartel é $$Q^*=\frac{a-c}{2b}$$ Se as empresas são idênticas, no ótimo cada uma produz a mesma quantidade: $$q_i^*=q_j^*=\frac{Q^*}{2}=\frac{a-c}{4b}$$ ### Preço e Lucros no Equilíbrio do Cartel - Preço de equilíbrio: $$P^*=a-bQ^*=a-b\frac{a-c}{2b}=\frac{a+c}{2}$$ - Lucro por empresa: substituímos $q_i^*$ e $P^*$ $$\pi_i^*=P^*\,q_i^*-c\,q_i^*=\frac{a+c}{2}\cdot\frac{a-c}{4b}-c\cdot\frac{a-c}{4b}=\frac{(a-c)^2}{8b}$$ - Lucro agregado do cartel: $$\pi^*=2\cdot\frac{(a-c)^2}{8b}=\frac{(a-c)^2}{4b}$$ > Observação: A quantidade agregada e o preço que resultam do cartel coincidem com os do monopólio que maximiza lucros para toda a indústria. ## Condições de Sustentabilidade do Cartel Embora o cartel maximize os lucros conjuntos, esse resultado geralmente não é um Equilíbrio de Nash em estratégias puras porque cada empresa tem incentivo a se desviar (produzir mais ou reduzir o preço) para aumentar seu lucro individual. Para que um cartel funcione, são necessários mecanismos que desincentivem o desvio: - Repetição indefinida do jogo (castigos futuros críveis). Se o jogo for infinito, a ameaça de castigos pode sustentar a cooperação. - Existência de múltiplos equilíbrios de Nash que permitam castigos críveis (p. ex., um equilíbrio de punição e um cooperativo sustentado pela repetição). > Definição: Um equilíbrio sustentado por meio de castigos é crível se o castigo for implementável como um equilíbrio de Nash do subjogo que se segue ao desvio. ## Exemplo Numérico (Exercício Proposto) Demanda Inversa: $$P(Q)=4000-400Q$$ Custo Total de Cada Empresa: $$CT(q)=200q$$ Duas empresas idênticas formam um cartel. 1) Quantidades e Preço do Cartel - Parâmetros: $a=4000$, $b=400$, $c=200$. - Quantidade agregada ótima do cartel: $$Q^*=\frac{a-c}{2b}=\frac{4000-200}{2\cdot400}=\frac{3800}{800}=4.75$$ - Quantidade por empresa: $$q_i^*=q_j^*=\frac{Q^*}{2}=2.375$$ - Preço de equilíbrio: $$P^*=a-bQ^*=4000-400\cdot4.75=4000-1900=2100$$ 2) Lucros - Lucro por empresa: $$\pi_i^*=P^*\,q_i^*-c\,q_i^*=2100\cdot2.375-200\cdot2.375= (2100-200)\cdot2.375=1900\cdot2.375=4512.5$$ - Lucro agregado: $$\pi^*=2\cdot4512.5=9025$$ > Você sabia que a quantidade agregada e o preço do cartel coincidem com os de um monopólio que controla toda a produção do mercado? Isso explica por que os cartéis buscam reproduzir o resultado monopolístico. ## J