Resumo de Matrizes: Conceitos Fundamentais e Operações

## Introdução Matrizes são arranjos retangulares de números que resumem e organizam informações lineares. São usadas em álgebra linear para representar sistemas de equações, transformações lineares, dados em ciências e engenharia, redes e modelos computacionais. Neste material, revisaremos definições, tipos, operações básicas, matrizes invertíveis e métodos práticos como a eliminação de Gauss-Jordan. > **Definição:** Sejam $m,n\in\mathbb{N}$. Uma matriz $A$ de ordem $m\times n$ é um arranjo retangular de escalares $a_{ij}$ com $i=1,\dots,m$ e $j=1,\dots,n$. ### Notação - Uma matriz $A$ é geralmente escrita como $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$$ - O elemento na linha $i$, coluna $j$ é $a_{ij}$. ## Tipos de matrizes (conceitos básicos) - **Ordem (tamanho):** uma matriz com $m$ linhas e $n$ colunas é de ordem $m\times n$. - **Matriz linha:** ordem $1\times n$. - **Matriz coluna:** ordem $m\times 1$. - **Matriz quadrada:** ordem $n\times n$ (quando $m=n$). > **Definição (Matriz nula):** A matriz nula $O$ satisfaz $a_{ij}=0$ para todo $i,j$. > **Definição (Matriz identidade):** A matriz identidade $I_n$ é a matriz quadrada com $1$ na diagonal principal e $0$ nos demais elementos, ou seja $$ (I_n)_{ij}=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\ne j\end{cases} .$$ ## Componentes importantes em matrizes quadradas - **Diagonal principal:** elementos com $i=j$. - **Traço:** para $A$ de ordem $n$, $\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}$. Exemplo: se $$E=\begin{pmatrix}6&3&4\\\pi&5&0\\7&-1&8\end{pmatrix}$$ então $\operatorname{tr}(E)=6+5+8=19$. ## Tipos Especiais de Matrizes (comparação) | Tipo | Condição | Exemplo | Observação | |---|---|---:|---| | Triangular Superior | $a_{ij}=0$ para $i>j$ | $\begin{pmatrix}9&1\\0&3\end{pmatrix}$ | Útil em fatorações (LU) | | Triangular Inferior | $a_{ij}=0$ para $i<j$ | $\begin{pmatrix}9&0\\2&1\end{pmatrix}$ | Similarmente útil | | Diagonal | $a_{ij}=0$ para $i\ne j$ | $\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$ | É triangular superior e inferior | | Escalar | $\lambda I$ | $\lambda\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ | Todas as entradas fora da diagonal são 0 | | Simétrica | $A^t=A$ | $\begin{pmatrix}7&3\\3&8\end{pmatrix}$ | aparece em formas bilineares e autovalores | | Antissimétrica | $A^t=-A$ | $\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$ | traço é $0$ quando é de ordem ímpar | Você sabia que as matrizes simétricas reais têm autovalores reais e autovetores ortogonais? ## Igualdade e operações básicas > **Definição (Igualdade):** $A=B$ se tiverem a mesma ordem e $a_{ij}=b_{ij}$ para todo $i,j$. Operações entre matrizes da mesma ordem $m\times n$: - **Soma:** $(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$. - **Subtração:** similar à soma, subtraindo-se as entradas. - **Multiplicação por escalar:** $(cA)_{ij}=c\,a_{ij}$. - **Produto (caso quadrado ou compatível):** Se $A$ for $m\times p$ e $B$ for $p\times n$, então $AB$ é $m\times n$ com $$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}.$$ Curiosidade: a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral; ou seja, em geral $AB\ne BA$. ## Operações elementares por linhas As operações elementares sobre linhas preservam o espaço de soluções de sistemas e são usadas para triangular ou reduzir matrizes: - Multiplicar uma linha por um escalar não nulo. - Somar a uma linha um múltiplo de outra linha. - Trocar duas linhas. Essas operações são usadas para levar uma matriz à forma escalonada ou escalonada reduzida por linhas. > **Definição (Forma escalonada por linhas):** Uma matriz está na forma escalonada se: > - As linhas nulas (se existirem) estão abaixo. > - Cada linha não nula tem seu primeiro elemento não nulo (pivô) à direita do pivô da linha anterior. > - Os pivôs são 1 (na forma escalonada reduzida) e abaixo de cada pivô há zeros. > **Definição (Forma escalonada reduzida por linhas):** É escalonada e, além disso, cada coluna com um pivô tem zeros em todas as outras