Resumo de Introdução aos Cálculos Atuariais

## Introdução Os seguros de vida baseiam-se nas tábuas de mortalidade para quantificar probabilidades de sobrevivência, calcular prêmios e determinar valores a pagar. Este material explica como ler tábuas de mortalidade, as quantidades-chave que aparecem nelas e as fórmulas básicas para três tipos de seguros: dotal puro, rendas em caso de vida e seguro de morte pagável no falecimento. > **Definição:** Uma tábua de mortalidade registra, para cada idade $x$, o número $l_x$ de indivíduos de um grupo inicial $l_0$ que chegam com vida à idade $x$. ## Conceitos básicos de tábuas de mortalidade ### Grupo inicial e sobreviventes - Parte-se de um **grupo inicial** de tamanho $l_0$; não são permitidas entradas adicionais no grupo. - Na idade $x$ restam vivos $l_x$ indivíduos do grupo inicial. - A tábua finaliza em uma idade $w$ tal que $l_w = 0$. > **Definição:** $l_x$ é a quantidade de pessoas vivas na idade $x$ do grupo inicial. ### Óbitos entre idades inteiras - O número de óbitos entre as idades $x$ e $x+1$ é denotado por $d_x$ e é calculado como: $$d_x = l_x - l_{x+1}$$ > **Definição:** $d_x$ é o número de pessoas do grupo inicial que morrem após completar a idade $x$ e antes de completar $x+1$. ### Probabilidades condicionais básicas - A probabilidade de que um indivíduo que atingiu a idade $a$ alcance a idade $b$ $(b\ge a)$ pode ser expressa em função dos $l_x$ como: $$P(X \ge b \mid X \ge a) = \frac{l_b}{l_a}$$ - A probabilidade de morrer entre as idades $a$ e $b$ (com $b>a$) para aqueles que atingiram $a$ é: $$P(a \le X < b \mid X \ge a) = \frac{l_a - l_b}{l_a}$$ ## Tipos de Seguros e Fórmulas de Custo A seguir, apresentamos três seguros comuns e suas fórmulas para calcular o custo ou prêmio puro (sem comissões ou despesas administrativas). ### Notação Comum - $M$: montante segurado ou a receber - $x$: idade atual do contratante - $n$: anos até o recebimento ou início da renda - $i$: taxa de juros anual (em formato decimal, por exemplo $0.06$) - $v$: fator de atualização por um ano > **Definição:** $v$ é o fator de atualização para um período: $v = \dfrac{1}{1+i}$. ### 1) Seguro Dotal Puro - Descrição: o segurado pagará agora e receberá $M$ se viver até a idade $x+n$. - Fórmula de custo puro: $$C( SDP ) = M \cdot \left( \frac{l_{x+n}}{l_x} \right) \cdot (1+i)^{-n}$$ - Interpretação: multiplica-se o montante $M$ pela probabilidade de sobrevivência $\dfrac{l_{x+n}}{l_x}$ e desconta-se a valor presente com $(1+i)^{-n}$. ### 2) Rendas em Caso de Vida - Descrição: a partir da idade $x+n$ o segurado recebe uma renda fixa anual $M$ para cada um dos $n$ primeiros pagamentos (ou até onde a tábua indicar). - Fórmula de custo puro (para pagamentos anuais durante $n$ anos, começando em $x+1$ até $x+n$): $$C_{PRV} = \dfrac{M}{l_x} \sum_{k=1}^{n} v^{k} \; l_{x+k}$$ - Aqui $v^{k} = (1+i)^{-k}$ e $l_{x+k}$ representa os sobreviventes que receberão o pagamento no ano $k$. ### 3) Seguro de Morte Pagável no Momento do Falecimento - Descrição: paga $M$ à(s) pessoa(s) designada(s) no momento em que o segurado falece. - Fórmula de custo puro (soma sobre os possíveis anos de falecimento): $$C_{PSM_x} = \sqrt{1+i}\; \dfrac{M}{l_x} \sum_{k=q}^{99-x} d_{x+k} \; v^{k+1}$$ - Onde $d_{x+k} = l_{x+k} - l_{x+k+1}$ e $q$ indica anos de diferimento, se aplicável. > Nota: a presença do fator $\sqrt{1+i}$ na fórmula deve ser considerada conforme a convenção do texto original; em muitos esquemas, o ajuste por meio período ou as convenções de pagamento variam entre contratos. ## Exemplos Práticos ### Exemplo 1: Probabilidade Condicional (Homens) Dentre os homens que chegam aos 40 anos, qual a fração que vive 70 anos ou mais? Utiliza-se: $$P(X \ge 70 \mid X \ge 40) = \frac{l_{70}}{l_{40}}$$ Se $l_{40}=9377$ e $l_{70}=6274$, então $$P = \frac{6274}{9377} = 0.669$$ $66,9\%$ dos homens que chegam aos 40 anos atingem 70 anos ou mais. ### Exemplo 2: Probabilidade de Morrer Antes de Certa Idade (Mulheres) Dentre as mulheres que