Resumo de Fundamentos de Álgebra Linear
Fundamentos de Álgebra Linear: Guia Completo para Estudantes
Introdução
Matrizes são arranjos retangulares de números que organizam informações em linhas e colunas. Neste material, revisaremos definições, tipos especiais, operações básicas e propriedades relevantes para seu manuseio em problemas matemáticos e aplicações práticas.
Definição: Uma matriz é um arranjo retangular de números dispostos em $n$ linhas e $m$ colunas. É denotada por $A\in\mathbb{R}^{n\times m}$ e seu elemento genérico é $a_{ij}$, que ocupa a linha $i$ e a coluna $j$.
Notação e elementos básicos
- Ordem ou tamanho: $n\times m$, onde $n$ é o número de linhas e $m$ o número de colunas.
- Elemento genérico: $a_{ij}$ representa o elemento na linha $i$ e na coluna $j$.
Exemplo: Seja $A\in\mathbb{R}^{3\times2}$, então $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22}\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix}$$ Possui 3 linhas e 2 colunas.
Tipos de matrizes (classificação rápida)
| Tipo | Condição | Exemplo | Observação |
|---|---|---|---|
| Quadrada | $n=m$ | $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ | Permite traço e determinante |
| Retangular | $n\neq m$ | $B\in\mathbb{R}^{3\times2}$ | Não possui traço nem determinante definidos |
| Linha | $1\times m$ | $F=(f_{11},f_{12},\dots,f_{1m})$ | Vetor linha |
| Coluna | $n\times1$ | $C=\begin{pmatrix}c_{11}\\vdots\c_{n1}\end{pmatrix}$ | Vetor coluna |
| Nula | Todos os $a_{ij}=0$ | $0_{n\times m}$ | Neutra para a soma |
| Diagonal | Quadrada e $a_{ij}=0$ se $i\neq j$ | $\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n)$ | Os valores fora da diagonal são zero |
| Escalar | Diagonal com mesma diagonal | $kI$ | É $k$ vezes a identidade |
| Identidade | Escalar com $k=1$ | $I_n$ | Elemento neutro do produto |
Definição: A matriz nula é a matriz em que todos os seus elementos são zero: $0_{n\times m}$.
Matriz transposta
Definição: A transposta de $A=(a_{ij})\in\mathbb{R}^{n\times m}$ é $A^{T}=(a_{ji})\in\mathbb{R}^{m\times n}$.
Exemplo: Se $$A=\begin{pmatrix}0 & 5 & 4\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times3},$$ então $$A^{T}=\begin{pmatrix}0 & 3\ 5 & 2\ 4 & 1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times2}.$$
Diagonal e Traço (matrizes quadradas)
Definição: A diagonal principal de $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ é formada pelos elementos $a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}$.
Definição: O traço de $A$ é a soma dos elementos da diagonal: $\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}$.
Exemplo: Para $$A=\begin{pmatrix}3 & 3 & 2\1 & 3 & 1\5 & 0 & 2\end{pmatrix},$$ a diagonal é $3,3,2$ e $$\operatorname{tr}(A)=3+3+2=8.$$
Matrizes Especiais: definições rápidas
- Matriz diagonal: $a_{ij}=0$ se $i\neq j$.
- Matriz escalar: matriz diagonal com todos os $a_{ii}=k$.
- Matriz identidade: $I_n$ com $a_{ii}=1$ e $a_{ij}=0$ para $i\neq j$.
Você sabia que a matriz identidade é a única matriz neutra para a multiplicação em $\mathbb{R}^{n\times n}$ e sempre satisfaz $AI_n=I_nA=A$ para toda $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$?
Operações com matrizes
Soma
Definição: Se $A=(a_{ij})$ e $B=(b_{ij})$ pertencem a $\mathbb{R}^{n\times m}$, então $C=A+B$ é definida por $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ para todo $i,j$.
Condição: As matrizes devem ser da mesma ordem.
Exemplo: $$A=\begin{pmatrix}2 & 4\3 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 3\7 & 8\end{pmatrix}$$ $$A+B=\begin{pmatrix}2+1 & 4+3\3+7 & 1+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 7\10 & 9\end{pmatrix}.$$
Igualdade de matrizes
Definição: $A$ e $B$ são iguais se tiverem a mesma ordem e $a_{ij}=b_{ij}$ para todo $i,j$.
Exemplo prático: Resolva para $x,y$ se $$A=\begin{pmatrix}7 & 0\6 & 4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3+x & 5\4 & 2+y\end{pmatrix}$$ A igualdade elemento a elemento resulta no sistema $7=3+x$ e $4=2+y$, portanto $x=4$, $y=2$.
Produto por escalar e operações elementares
- Multiplicar uma coluna (ou linha) por um escalar $\alpha$ multiplica o determinante por $\alpha$ quando a matriz é quadrada.
- Somar a uma coluna outra coluna multiplicada por um escalar não altera o determinante.
Determinante (apenas para matrizes quadradas)
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Matrizes: conceitos e operações
Klíčové pojmy: Una matriz es un arreglo $n\times m$ y su elemento genérico es $a_{ij}$, Matriz nula: todos los $a_{ij}=0$, puede ser rectangular o cuadrada, Traspuesta: $A^{T}=(a_{ji})$, transforma $\mathbb{R}^{n\times m}$ en $\mathbb{R}^{m\times n}$, Matriz identidad $I_n$ es el neutro multiplicativo: $AI_n=I_nA=A$, Suma de matrices requiere mismo orden y se hace elemento a elemento: $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$, Determinante de $2\times2$: $|A|=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$, Permutar filas/columnas cambia el signo del determinante; sumar múltiplos no lo altera, Matriz inversa $A^{-1}$ existe solo si $A$ es cuadrada e invertible y es única, La traza $\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$ suma la diagonal principal, Menor complementario de $a_{ij}$ es el determinante de la matriz sin fila $i$ ni columna $j$, Operaciones elementales sobre filas: intercambio, multiplicación por escalar, suma de múltiplos; afectan determinante de forma conocida