Resumo de Exercícios Fundamentais de Probabilidade

## Introdução Este guia reúne exercícios resolvidos e explicações sobre problemas clássicos de probabilidade condicional, regras de contagem e eventos compostos. É voltado para estudantes universitários que desejam praticar técnicas de cálculo de probabilidades, interpretação de tabelas de contingência e aplicar o teorema de Bayes. > Definição: A probabilidade de um evento é um número entre $0$ e $1$ que mede a possibilidade de ocorrência desse evento, e satisfaz as regras axiomáticas de Kolmogorov. ## Conceitos-chave detalhados ### 1. Tabelas de contingência e probabilidades marginais - Uma tabela de contingência resume frequências conjuntas por categorias (por exemplo, idade e preferência de programa). - Para obter probabilidades, divide-se cada célula pelo total de observações. > Definição: Probabilidade condicional $P(A\mid B)$ é a probabilidade de $A$ dado que $B$ ocorreu, e é calculada como $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ se $P(B)>0$. ### 2. Seleção sem reposição e combinatória - Quando dois objetos são extraídos de uma população finita sem reposição, as probabilidades mudam entre a primeira e a segunda extração. - Uso de combinações: o número de maneiras de escolher $k$ objetos de $n$ é $\binom{n}{k}$. Para probabilidades, comparam-se contagens favoráveis com contagens totais. > Definição: Combinação $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ conta seleções sem ordem. ### 3. Teorema de Bayes - Permite inverter condições: calcular $P(A\mid B)$ a partir de $P(B\mid A)$ e probabilidades a priori. - Fórmula: $$P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$$ ### 4. Eventos complementares e erros de teste - Erro de teste: falsos positivos e falsos negativos. - A probabilidade de obter um resultado errôneo é a soma dos casos em que o teste falha, considerando a prevalência. ## Problemas Resolvidos (passo a passo) ### Problema 206: Preferências Televisivas (amostra de 130) Tabela fornecida: menores de 30 / maiores de 30 por programa | Programa | Menores de 30 | Maiores de 30 | Total | |---|---:|---:|---:| | Telejornais | $15$ | $25$ | $40$ | | Séries | $40$ | $15$ | $55$ | | Filmes | $20$ | $15$ | $35$ | | Total | $75$ | $55$ | $130$ | - a) Probabilidades básicas: - a) "Seja um adulto maior de 30 anos que prefira as séries": $$P(\text{maior de 30 e séries})=\dfrac{15}{130}=\dfrac{3}{26}$$ - b) "Prefira assistir a filmes": $$P(\text{filmes})=\dfrac{35}{130}=\dfrac{7}{26}$$ - b) "Se for escolhida uma pessoa que prefere as séries, qual a probabilidade de que ela seja menor de 30 anos?": $$P(\text{menor de 30}\mid\text{séries})=\dfrac{40}{55}=\dfrac{8}{11}$$ - c) Seleção de duas pessoas ao acaso (sem reposição, população fixa de 130): - a) "Ambas sejam do mesmo grupo etário": há dois grupos (menores, maiores). A probabilidade é a soma dos casos em que ambas são menores mais ambas são maiores. - Ambas menores: $$\dfrac{\binom{75}{2}}{\binom{130}{2}}$$ - Ambas maiores: $$\dfrac{\binom{55}{2}}{\binom{130}{2}}$$ - Resultado: $$P=\dfrac{\binom{75}{2}+\binom{55}{2}}{\binom{130}{2}}$$ - b) "Ambas prefiram séries": $$P=\dfrac{\binom{55}{2}}{\binom{130}{2}}$$ - c) "Uma prefira filmes e outra telejornais": o número de formas favoráveis $=35\cdot 40$ (escolher uma de filmes e uma de telejornais) e o total de pares ordenados sem ordem é $\binom{130}{2}$; como a ordem não importa, a contagem direta já contempla pares distintos, portanto: $$P=\dfrac{35\cdot 40}{\binom{130}{2}}$$ ### Problema 207: Controle de Qualidade e Outlets Dados: - $8,97\%$ dos produtos têm falhas. Destes, $85\%$ não passa no controle. - $4,03\%$ dos produtos não têm falhas e também não passam no controle. - a) "Probabilidade de que um produto seja enviado ao outlet": um produto é enviado ao outlet quando não passa no controle. Há duas contribuições: - Produtos com falhas que não passam: $0,0897\times 0,85$ - Produtos sem falhas que não passam: $0,0403$ - Então: $$P(\text{outlet})=0,0897\cdot 0,85+0,0403$$ - b) "Probabilidade de q