Resumo de Equações Diferenciais: Coeficientes Indeterminados

## Introdução As **equações diferenciais lineares** com coeficientes constantes são uma classe fundamental de equações que aparecem em muitos modelos físicos e de engenharia. Neste material, veremos a solução das equações homogêneas de ordem $n$ e o **método de coeficientes a determinar** (abordagem por superposição) para obter soluções particulares de equações não homogêneas. > Definição: Uma equação diferencial linear de ordem $n$ com coeficientes constantes tem a forma $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = g(x)$$ onde $a_i$ são constantes e $g(x)$ é a função não homogênea. ## Parte I: Equações homogêneas com coeficientes constantes ### Formulação Para a equação homogênea associada $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0$$ busca-se uma solução da forma $y = e^{rx}$. Substituindo, obtém-se a **equação característica**: $$a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0$$ > Definição: A equação polinomial anterior é denominada equação característica e suas raízes determinam a estrutura da solução geral. ### Tipos de raízes e soluções linearmente independentes - Se $r$ é uma raiz real simples, ela contribui com $e^{rx}$. - Se $r$ é uma raiz real de multiplicidade $m$, as soluções associadas são $$e^{rx},\; x e^{rx},\; x^2 e^{rx},\; \dots,\; x^{m-1} e^{rx}.$$ - Se uma raiz conjugada complexa $\alpha \pm i\beta$ aparece (multiplicidade $m$), as soluções reais associadas são $$e^{\alpha x}\cos(\beta x),\; e^{\alpha x}\sin(\beta x),\; x e^{\alpha x}\cos(\beta x),\; x e^{\alpha x}\sin(\beta x),\; \dots$$ até a multiplicidade $m$. ### Exemplo (esquema) Dada a equação homogênea associada com equação característica cujas raízes são $r_1, r_2, \dots, r_n$, as soluções linearmente independentes são $y_1, y_2, \dots, y_n$ e a solução geral é $$y_c(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \dots + C_n y_n(x).$$ ## Parte II: Método dos Coeficientes Indeterminados (abordagem de superposição) ### Ideia Geral Para uma equação não homogênea $$a_n y^{(n)} + \dots + a_0 y = g(x)$$ sua solução geral é dada por $$y(x) = y_c(x) + y_p(x)$$ onde $y_c$ é a solução geral da equação homogênea associada e $y_p$ é uma solução particular. > Definição: O método dos coeficientes indeterminados propõe uma forma para $y_p$ com parâmetros desconhecidos que são determinados substituindo na equação e ajustando os coeficientes. ### Passos do Método 1. Resolver a equação homogênea associada e obter $y_c(x)$. 2. Propor uma forma para $y_p(x)$ baseada em $g(x)$ (soma de termos semelhantes): polinômios, exponenciais $e^{\alpha x}$, senos/cossenos $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ e produtos destes. 3. Se alguma parte proposta para $y_p$ coincidir com uma solução de $y_c$, multiplicar pela menor potência de $x$ necessária para eliminar a degenerescência (por exemplo, $x$, $x^2$, ...). 4. Substituir $y_p$ na equação e resolver para os coeficientes desconhecidos. 5. Construir $y(x)=y_c(x)+y_p(x)$ e ajustar as constantes iniciais se houver condições iniciais. ### Regras Comuns de Proposta (tabela) | Terminologia de $g(x)$ | Forma proposta para $y_p$ | Observação se for necessário multiplicar por $x^k$ | | --- | ---: | --- | | Polinômio de grau $n$ | $Ax^n + \dots + K$ | Multiplicar por $x^k$ se polinômios aparecerem em $y_c$ | | $e^{\alpha x} P(x)$ | $e^{\alpha x} Q(x)$ com $\deg Q = \deg P$ | Se $e^{\alpha x}$ corresponder a uma raiz de multiplicidade $m$, multiplicar por $x^m$ | | $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ ou $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ | $e^{\alpha x}\left(R(x)\cos(\beta x)+S(x)\sin(\beta x)\right)$ | Ajustar o grau de $R,S$ e multiplicar por $x^k$ se coincidir com $y_c$ | ### Caso Especial: Superposição com a Solução Complementar Se a proposta inicial de $y_p$ for solução da homogênea, então ao substituir resultará em $0$ e não permitirá determinar coeficientes. Nesse caso, multiplicar pela potência mínima $x^k$ tal que a nova proposta seja linearmente independente. ## Exemplos Práticos (Esquema Passo a Passo) Exemplo 1: Re