Resumo de Equação da Parábola com Vértice (h,k)
Equação da Parábola com Vértice (h,k): Guia Completo
Introdução
As parábolas são curvas planas que surgem na geometria, física e design. Quando seu vértice não está na origem, sua equação é transladada usando as coordenadas do vértice $H$ e $K$. Neste material, estudaremos como essas equações são escritas, como identificar seus elementos (foco, diretriz, eixo) e exemplos práticos de uso.
Definição: Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz.
Conceito básico: translação do vértice
Uma parábola com vértice no ponto $\left(H,K\right)$ é obtida substituindo $x$ por $x-h$ e $y$ por $y-k$ nas equações canônicas centradas na origem.
Equações canônicas com vértice em $\left(H,K\right)$
- Parábola com eixo vertical (abre para cima ou para baixo):
$$\left(x - h\right)^2 = 4a\left(y - k\right)$$
- Parábola com eixo horizontal (abre para a direita ou para a esquerda):
$$\left(y - k\right)^2 = 4a\left(x - h\right)$$
Definição: O parâmetro $a$ é a distância dirigida entre o vértice e o foco; determina a abertura da parábola.
Elementos importantes (para a forma vertical)
- Vértice: $\left(h,k\right)$
- Foco: $\left(h,k+a\right)$
- Diretriz: $y = k - a$
- Lado reto: $LR = |4a|$
Para a forma horizontal, as coordenadas são trocadas: foco $\left(h+a,k\right)$ e diretriz $x = h - a$.
Forma geral e tipos de equações
As equações desenvolvidas (forma geral) podem aparecer como:
- Se abre para a direita ou esquerda (eixo horizontal):
$$y^2 \pm by \pm cx \pm d = 0$$
- Se abre para cima ou para baixo (eixo vertical):
$$x^2 \pm bx \pm cy \pm d = 0$$
Aqui $b,c,d$ são números reais que resultam de expandir e reorganizar a equação canônica após a translação do vértice.
Definição: A forma canônica mostra claramente o vértice e o parâmetro $a$; a forma geral é útil para classificação e álgebra, mas oculta esses elementos até que se complete o quadrado.
Como identificar o vértice, foco e diretriz a partir da equação
- Se a equação é da forma $$\left(x - h\right)^2 = 4a\left(y - k\right)$$ então o eixo é vertical e o vértice é $\left(h,k\right)$.
- Calcular $a$ isolando a constante que multiplica a expressão linear em $y-k$ ou $x-h$.
- Usar as fórmulas de foco e diretriz dadas acima.
Exemplo 1:
Equação: $$\left(x - 2\right)^2 = 12\left(y + 1\right)$$
- Aqui $h = 2$, $k = -1$, e $4a = 12$, então $a = 3$.
- Vértice: $\left(2,-1\right)$
- Foco: $\left(2,-1+3\right) = \left(2,2\right)$
- Diretriz: $y = -1 - 3 = -4$
- Lado reto: $LR = |4a| = 12$
Exemplo 2:
Equação: $$\left(y + 2\right)^2 = -8\left(x - 1\right)$$
- Reescrevendo como $$\left(y - (-2)\right)^2 = 4a\left(x - 1\right)$$ temos $h = 1$, $k = -2$, $4a = -8$, então $a = -2$.
- A parábola abre para a esquerda (porque $a<0$).
- Vértice: $\left(1,-2\right)$
- Foco: $\left(1-2,-2\right) = \left(-1,-2\right)$
- Diretriz: $x = 1 - \left(-2\right) = 3$, ou, de forma mais precisa, $x = h - a = 1 - (-2) = 3$.
Tabela comparativa
| Característica | Eixo vertical | Eixo horizontal |
|---|---|---|
| Equação canônica | $$\left(x - h\right)^2 = 4a\left(y - k\right)$$ | $$\left(y - k\right)^2 = 4a\left(x - h\right)$$ |
| Vértice | $\left(h,k\right)$ | $\left(h,k\right)$ |
| Foco | $\left(h,k+a\right)$ | $\left(h+a,k\right)$ |
| Diretriz | $y = k - a$ | $x = h - a$ |
| Abre para | cima se $a>0$, baixo se $a<0$ | direita se $a>0$, esquerda se $a<0$ |
Passos para mover uma parábola da origem ao vértice $\left(H,K\right)$
- Partir da forma na origem: $x^2 = 4ay$ ou $y^2 = 4ax$.
- Substituir $x$ por $x-h$ e $y$ por $y-k$.
- Expandir se a forma geral for requerida.
- Identificar $a$, em seguida calcular o foco e a diretriz.
Aplicações Práticas
- Refletores e antenas parabólicas: o foco concentra ondas; você pode projetar a parábola transladando o vértice para posicionar o foco onde for conveniente.
- Trajetórias em física: algumas aproximações locais de movimento se assemelham a parábolas após translações.
- Design ar
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Parábolas: vértice fora da origem
Klíčové pojmy: Vértice em $\left(h,k\right)$ obtém-se substituindo $x-h$, $y-k$, Equação vertical: $\left(x - h\right)^2 = 4a\left(y - k\right)$, Equação horizontal: $\left(y - k\right)^2 = 4a\left(x - h\right)$, Foco vertical: $\left(h,k+a\right)$; diretriz: $y = k-a$, Foco horizontal: $\left(h+a,k\right)$; diretriz: $x = h-a$, Lado reto: $LR = |4a|$, Se $a>0$, abre para cima ou para a direita; se $a<0$, abre para baixo ou para a esquerda, Para obter a forma geral, expanda as equações canônicas, Para encontrar $a$, isole $4a$ da equação canônica, Aplicações: antenas parabólicas, design arquitetônico, óptica