Resumo de Conceitos Fundamentais de Matemática

## Introdução As técnicas para resolver sistemas de equações lineares e inequações em duas variáveis são ferramentas básicas da álgebra linear que permitem modelar e resolver problemas reais: desde misturar ingredientes até determinar interseções de trajetórias. Neste guia, você verá definições, métodos de solução (gráfico, substituição, igualação, redução e regra de Cramer), interpretação geométrica e resolução de sistemas de inequações por regiões. > **Definição:** Um sistema de equações lineares é um conjunto de duas ou mais equações lineares com duas ou mais incógnitas. A solução é o conjunto de valores que satisfaz todas as equações simultaneamente. ## Conceitos básicos ### Equação linear em duas variáveis Uma equação linear em $x$ e $y$ tem a forma $$ax + by = c$$ com $a$, $b$, $c$ constantes e $a$ e $b$ não ambos nulos. Sua representação gráfica é uma reta. > **Definição:** Uma reta no plano cartesiano é dada pela equação $ax + by = c$; se $b\neq 0$ pode ser escrita como $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$. ### Sistema de duas equações (2x2) Um sistema de duas equações lineares é escrito $$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$ As possíveis situações são: - Solução única: as retas se intersectam em um ponto. (Sistema compatível determinado) - Nenhuma solução: retas paralelas. (Sistema incompatível) - Infinitas soluções: retas coincidentes. (Sistema compatível indeterminado) ## Métodos de Resolução Apresentam-se métodos algébricos e gráfico. ### 1) Método da Substituição 1. Isole uma variável em uma das equações: $x = f(y)$ ou $y = g(x)$. 2. Substitua na outra equação e resolva para uma variável. 3. Substitua de volta para obter a outra variável. Exemplo: $$\begin{cases} x + 3y = 6 \\ 5x - 2y = 13 \end{cases}$$ Isolando $x$ na primeira: $$x = 6 - 3y$$ Substituindo na segunda: $$5(6 - 3y) - 2y = 13$$ $$30 - 15y - 2y = 13$$ $$-17y = -17$$ $$y = 1$$ Substituindo: $$x = 6 - 3(1) = 3$$ Solução: $(3,1)$. ### 2) Método da Igualdade 1. Isole a mesma variável em ambas as equações. 2. Iguale ambas as expressões e resolva a equação resultante. Exemplo (mesmo sistema): Isolando $x$ em ambas as equações e igualando, chega-se também a $y = 1$ e $x = 3$. ### 3) Método da Adição e Subtração (Redução) 1. Multiplique as equações para obter coeficientes opostos em uma variável. 2. Some ou subtraia as equações para eliminar essa variável. 3. Resolva a equação resultante e substitua. Exemplo: $$\begin{cases} 2x - 9y = 8 \\ 3x - 7y = -1 \end{cases}$$ Multiplicando: $3\times$(Equação 1) e $-2\times$(Equação 2): $$6x - 27y = 24$$ $$-6x + 14y = 2$$ Somando: $$-13y = 26$$ $$y = -2$$ Substituindo: $$3x - 7(-2) = -1$$ $$3x + 14 = -1$$ $$3x = -15$$ $$x = -5$$ Solução: $(-5,-2)$. ### 4) Método dos Determinantes (Regra de Cramer) Para o sistema $$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$ definem-se os determinantes: $$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$$ $$D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - c_2 b_1$$ $$D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - a_2 c_1$$ Se $D\neq 0$: $$x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D}$$ Exemplo: $$\begin{cases} x + 3y = 6 \\ 5x - 2y = 13 \end{cases}$$ $$D = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2) - 5(3) = -17$$ $$D_x = \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 13 & -2 \end{vmatrix} = 6(-2) - 13(3) = -51$$ $$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 13 \end{vmatrix} = 1(13) - 5(6) = -17$$ $$x = \frac{-51}{-17} = 3,\quad y = \frac{-17}{-17} = 1$$ > **Definição:** A regra de Cramer se aplica quando $D\neq 0$; se $D=0$, é preciso analisar $D_x$ e $D_y$ para decidir se não há solução ou se há infinitas soluções. ## Interpretação geométrica - Cada equação linear representa uma reta no plano. - Solução única: retas oblíquas que se cruzam em um ponto (interseção). - Sem solução: retas paralelas (mesma inclinação, intercepto diferente). - Infinitas soluções: retas coi