Resumo de Conceitos Fundamentais de Álgebra Linear

## Introdução Neste material, estudamos os operadores lineares em $\mathbb{R}^3$: transformações lineares $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ que podem ser representadas por matrizes $3\times 3$. Nos concentramos em rotações em torno de uma reta que passa pela origem, reflexões em relação a um plano que passa pela origem e projeções sobre planos e retas que passam pela origem. Explicaremos definições, fórmulas matriciais e exemplos práticos. > **Definição:** Uma transformação $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ é **linear** se para todo $x,y\in\mathbb{R}^n$ e todo escalar $a$ se verifica $T(x+y)=T(x)+T(y)$ e $T(ax)=aT(x)$. Quando $n=m$, chamamos $T$ de um **operador linear** em $\mathbb{R}^n$. ## Conceitos básicos e representação matricial - Qualquer operador linear $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ pode ser escrito como $T(x)=Ax$ para alguma matriz $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$. - Para estudar operadores geométricos (rotações, reflexões, projeções) é útil escolher uma base ortonormal que simplifique a forma da matriz. ### Matriz de uma transformação em uma base ortonormal - Se tomarmos uma base ortonormal $\{u_1,u_2,u_3\}$, a matriz de $T$ tem colunas $T(u_1)$, $T(u_2)$, $T(u_3)$ expressas nessa mesma base. - Para rotações e reflexões é frequente usar a base que inclui o eixo ou a normal do plano fixo. ## Rotações em $\mathbb{R}^3$ em torno de uma reta que passa pela origem > **Definição:** Uma **rotação** em torno de uma reta unitária $\hat{n}$ que passa pela origem e com ângulo $\theta$ deixa inalterada a componente na direção $\hat{n}$ e rotaciona o plano ortogonal a $\hat{n}$ por $\theta$. Construção e fórmula (vetorial): se $v\in\mathbb{R}^3$, a rotação de $v$ em torno de $\hat{n}$ por um ângulo $\theta$ pode ser expressa pela fórmula de Rodrigues: $$ R_{\hat{n},\theta}(v)=\cos\theta\,v+\sin\theta\,\hat{n}\times v+(1-\cos\theta)\,\langle\hat{n},v\rangle\hat{n} $$ - Aqui $\langle\hat{n},v\rangle$ é o produto escalar e $\times$ é o produto vetorial. - A matriz $R$ correspondente em coordenadas canônicas é obtida substituindo $v$ pelas variáveis da base canônica e calculando as colunas. Exemplo prático: 1. Seja $\hat{n}=(0,0,1)$ (eixo $z$) e $\theta$ o ângulo. A rotação é a matriz conhecida $$ R_{z,\theta}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 2. Se $\hat{n}$ é outra direção unitária, podemos construir uma base ortonormal com $\hat{n}$ e aplicar a fórmula de Rodrigues para obter a matriz. Aplicação real: rotações em gráficos 3D, animação e robótica para descrever a orientação de corpos rígidos. Você sabia que a fórmula de Rodrigues fornece uma representação compacta da rotação sem a necessidade de matrizes 4\times 4 homogêneas? ## Reflexões em relação a um plano que passa pela origem > **Definição:** Uma **reflexão** em relação a um plano com vetor normal unitário $\hat{n}$ é a transformação que deixa inalteradas as componentes no plano e inverte o sinal da componente na direção $\hat{n}$. A ação sobre um vetor $v$ é dada por $$ S_{\hat{n}}(v)=v-2\langle\hat{n},v\rangle\hat{n} $$ A matriz associada (em coordenadas padrão, se $\hat{n}=(n_1,n_2,n_3)$) é $$ S=I-2\hat{n}\hat{n}^T=\begin{pmatrix} 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3 \\ -2n_2n_1 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3 \\ -2n_3n_1 & -2n_3n_2 & 1-2n_3^2 \end{pmatrix} $$ Exemplo: reflexão em relação ao plano $xy$ tem $\hat{n}=(0,0,1)$ e matriz $$ S=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} $$ Aplicação real: processamento de imagens espelhadas e física de colisões elásticas ideais. Curiosidade: as reflexões em relação a um plano têm determinante $-1$, portanto, não preservam a orientação do espaço. ## Projeções sobre planos e retas que passam pela origem > **Definição:** Uma **projeção ortogonal** sobre um subespaço $W\subset\mathbb{R}^3$ é o operador linear $P$ que mapeia cada vetor para o único vetor em $W$ mais próximo (distância mínima), e satisfaz $P^2=P$. 1) Projeção sobre a reta gerada por