Resumo de Análise de Esforços e Deformações

## Introdução Nesta unidade veremos conceitos-chave relacionados com a análise do estado de tensões no campo tridimensional e sua projeção no plano, a deformação volumétrica e o trabalho interno específico de deformação. Embora alguns detalhes sobre tensões e o Círculo de Mohr sejam tratados em outras seções, aqui nos concentraremos em como o estado tridimensional afeta grandezas como a deformação volumétrica, a energia interna de deformação e a decomposição em parcelas de dilatação e distorção. ## 1. Estado tridimensional e direções principais ### Conceito geral > **Definição:** Para qualquer ponto em um meio contínuo tridimensional existem três direções ortogonais chamadas **direções principais**, nas quais as componentes tangenciais sobre as faces correspondentes são nulas. - Nessas faces aparecem apenas as componentes normais, que são usualmente denotadas $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. - Uma delas é a máxima ($\sigma_1$), outra a mínima ($\sigma_3$) e a terceira adota um valor intermediário ($\sigma_2$). - A maior componente cisalhante local aparece em planos que bissecam as direções de tração e compressão principal (por exemplo, a $45^\circ$ entre $\sigma_1$ e $\sigma_3$ em casos típicos). ### Casos relevantes ao projetar para o plano Ao estudar um problema bidimensional (por exemplo, no plano $xy$) estamos considerando um subconjunto de planos do estado tridimensional. Ao passar de 3D para 2D, convém distinguir situações: - Caso A: as componentes principais dentro do plano correspondiam à tração (ambas positivas em convenções usuais). Denotamos estas como $\sigma_{1}^{D}$ e $\sigma_{2}^{D}$ na visão 2D.\ - Caso B: $\sigma_{1}^{D}$ em tração e $\sigma_{2}^{D}$ em compressão.\ - Caso C: ambas componentes em compressão. Esses casos influenciam no surgimento de planos oblíquos com componentes adicionais não consideradas na análise meramente planar. Você sabia que em planos oblíquos à direção principal podem surgir componentes cisalhantes maiores que as observadas no plano original? ## 2. Deformação específica volumétrica ### Definição e expressão básica > **Definição:** A deformação específica volumétrica $e$ mede a variação relativa de volume em relação ao volume inicial: $e = \dfrac{\Delta V}{V_{i}} = \dfrac{V_{f} - V_{i}}{V_{i}}$. Se as dimensões do elemento mudam de acordo com $l_x \to l_x(1+\varepsilon_x)$, $l_y \to l_y(1+\varepsilon_y)$, $l_z \to l_z(1+\varepsilon_z)$, então a variação volumétrica aproximada (para pequenas deformações) é: $$e = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$$ - Para um **estado simples** (atua apenas uma componente de tensão), a expressão anterior se mantém, mas muitas componentes são zero. - Para um **estado geral** (atuam em três direções), as três deformações longitudinais intervêm. ### Relação com propriedades elásticas Em um material linear elástico isotrópico, existe uma relação entre deformações e tensões que envolve o módulo de Young $E$ e o coeficiente de Poisson $\mu$. Se o estado é isotrópico com $\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = \sigma$, a deformação volumétrica pode ser expressa como: $$e = 3\,\dfrac{\sigma}{E} (1 - 2\mu)$$ - Para que um aumento de tensão de tração ($\sigma>0$) provoque um incremento de volume $e>0$, deve-se ter $1 - 2\mu > 0$, ou seja $0 < \mu < 0.5$. Curiosidade: os materiais com coeficiente de Poisson próximo de $0.5$ (como fluidos quase incompressíveis) apresentam variações volumétricas praticamente nulas diante de tensões hidrostáticas. ## 3. Trabalho interno específico de deformação ### Interpretação física > **Definição:** O trabalho interno específico de deformação $T^{*}$ é a energia por unidade de volume armazenada no material devido às deformações causadas pelas cargas aplicadas. - Apenas as componentes de tensão que possuem deslocamentos paralelos contribuem para o trabalho; componentes perpendiculares não realizam trabalho nessa direção. - No caso geral, o trabalho total é obtido somando as contribuições de cada componente