Streszczenie Przetwarzanie sygnałów i diagnostyka

Przetwarzanie Sygnałów i Diagnostyka: Kompleksowy Przewodnik

StreszczenieTest wiedzyFiszkiPodcastMapa myśli

Wstęp

W tym materiale zapoznasz się z przetwarzaniem sygnałów w dziedzinie częstotliwości i czasowo-częstotliwościowej. Celem jest zrozumienie, jak transformata Fouriera i jej warianty ujawniają skład spektralny sygnałów, jak postępować z danymi niestacjonarnymi oraz jak wybrać odpowiednie metody analizy do diagnostyki i przetwarzania sygnałów.

Definicja: Transformata Fouriera przekształca sygnał z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości i pokazuje, jaki jest rozkład amplitudy i fazy w zależności od częstotliwości.

Podstawy transformacji Fouriera i DFT

Zasada działania

Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) przekształca skończoną próbkę sygnału dyskretnego w dyskretne widmo.
Próbkowanie sygnału ciągłego z okresem $T_x$ (częstotliwość próbkowania $f_x = 1/T_x$) daje próbki $x[kT_x]$, a dla $N$ próbek otrzymujemy

$$X\left[\frac{n}{N T_x}\right] = T_x \sum_{k=0}^{N-1} x\left[kT_x\right] e^{-\frac{2\pi k n}{N}},\quad n=0,1,\dots,N-1$$

Rozdzielczość częstotliwościowa wynosi $\Delta f = f_x / N = 1 / (N T_x)$.

Definicja: Odwrotna DFT rekonstruuje sygnał z jego widma zgodnie z zależnością

$$x[n] = \frac{1}{N T_x} \sum_{k=0}^{N-1} X\left[\frac{k}{N T_x}\right] e^{\frac{2\pi k n}{N}},\quad n=0,1,\dots,N-1$$

Uwaga na aliasing i periodyczność

DFT zakłada sygnał okresowy. Jeśli sygnał nie jest okresowy, pojawia się zjawisko wycieku widmowego (ang. spectral leakage).
Widmo jest okresowe z okresem $f_s = f_x$, tzn. $X(f) = X(f - f_s)$. Dlatego częściej stosuje się widmo jednostronne dla $f\in[0, f_s/2]$.

Okienkowanie i tłumienie wycieku

Wyciek widmowy powoduje, że energia nie rozkłada się wyłącznie na dokładną częstotliwość, ale rozprzestrzenia się na sąsiednie częstotliwości.
Funkcje okna (np. Hanninga, Hamminga) redukują wyciek, wygładzając przejścia na końcach okna.

Definicja: Okno Hanninga jest przykładem funkcji, która mnoży krótki fragment sygnału, zmieniając w ten sposób jego wartości brzegowe w celu uzyskania lepszych właściwości częstotliwościowych.

Widmo jednostronne i dwustronne

Widmo dwustronne przedstawia częstotliwości dodatnie i ujemne. Dla sygnałów rzeczywistych częstotliwości ujemne są lustrzanym odbiciem częstotliwości dodatnich.
Widmo jednostronne przedstawia tylko $f\ge 0$ do $f_s/2$ i jest w praktyce bardziej przejrzyste.

Praktyczny przykład DFT

Przykład: sygnał dyskretny o częstotliwości 1 Hz, próbkowanie $f_x=20,\mathrm{Hz}$ (czyli $T_x=0.05,\mathrm{s}$), $N=60$ próbek (0–2.95 s).
Krok widma $\Delta f = f_x / N = 20/60 = 1/3,\mathrm{Hz}$.
Widmo ma maksima przy 1 Hz, a także przy częstotliwościach odpowiadających symetrii widma (np. 19 Hz odpowiada składowej przy $-1,\mathrm{Hz}$ dzięki periodyczności DFT).

Ograniczenia analizy Fouriera

Transformata Fouriera wymaga liniowego i stacjonarnego systemu oraz stałych parametrów sygnału.
W przypadku sygnałów nieliniowych lub niestacjonarnych, uzyskane spektrum stanowi uśrednioną informację, która może maskować krótkotrwałe zdarzenia (impulsy).

Definicja: Wyciek widmowy (spectral leakage) to rozmycie energii składowej widmowej na sąsiednie częstotliwości w wyniku ograniczonej długości sygnału lub niewłaściwego okna.

Przetwarzanie czasowo-częstotliwościowe (sygnały niestacjonarne)

Gdy parametry sygnału zmieniają się w czasie, analiza Fouriera dla całej długości sygnału może nie być wystarczająca. Stosujemy metody czasowo-częstotliwościowe do śledzenia ewolucji widma w czasie.

Krótkookresowa transformata Fouriera (STFT)

STFT oblicza transformatę Fouriera z krótkich, nakładających się segmentów sygnału.

$$X(t,\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(\tau - t) e^{-j\omega\tau} d\tau$$

Funkcja okna $h(t)$ określa długość segmentu. Zakładamy, że krótki segment jest (w przybliżeniu) stacjonarny.
Widmo amplitudowe można znormalizować czynnikiem korekcyjnym

$$A(t,\omega) = 2 \frac{\left| X(t,\omega) \right|}{\frac{1}{T_w} \int_{0}^{T_w} h(\tau) d\tau}$$

Długość okn

Zarejestruj się po pełne podsumowanie

FiszkiTest wiedzyStreszczeniePodcastMapa myśli

Zacznij za darmo

Masz już konto? Zaloguj się

Sygnały w częstotliwościach

Klíčové pojmy: DFT przekształca skończony sygnał dyskretny w dyskretne widmo za pomocą $\Delta f = f_x/N$, Odwrotna DFT odtwarza sygnał zgodnie ze wzorem $x[n]=\frac{1}{N T_x}\sum_{k=0}^{N-1} X[\frac{k}{N T_x}] e^{\frac{2\pi k n}{N}}$, Wyciek widmowy powstaje z sygnału nieokresowego i jest tłumiony za pomocą okien (Hanninga, Hamminga), Widmo jest okresowe z okresem $f_s$ i dlatego powszechnie stosuje się widmo jednostronne $[0, f_s/2]$, STFT: $X(t,\omega)=\int x(\tau) h(\tau-t) e^{-j\omega\tau} d\tau$, kompromis między czasem a częstotliwością, Spektrogram to $P_{SP}(t,\omega)=|S_t(\omega)|^2$ i przedstawia energię w płaszczyźnie czasowo-częstotliwościowej, Transformata falkowa: $W(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\int s(t)\psi((t-b)/a) dt$ zapewnia analizę wielorozdzielczą, Dłuższe okno poprawia rozdzielczość w dziedzinie częstotliwości, krótsze okno poprawia rozdzielczość w dziedzinie czasu, Dla krótkich impulsów preferuj transformaty falkowe lub krótkie okna z dużym nakładaniem się, Przed analizą zawsze rozważ stacjonarność, liniowość i długość danych

## Wstęp W tym materiale zapoznasz się z przetwarzaniem sygnałów w dziedzinie częstotliwości i czasowo-częstotliwościowej. Celem jest zrozumienie, jak transformata Fouriera i jej warianty ujawniają skład spektralny sygnałów, jak postępować z danymi niestacjonarnymi oraz jak wybrać odpowiednie metody analizy do diagnostyki i przetwarzania sygnałów. > **Definicja:** Transformata Fouriera przekształca sygnał z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości i pokazuje, jaki jest rozkład amplitudy i fazy w zależności od częstotliwości. ## Podstawy transformacji Fouriera i DFT ### Zasada działania - Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) przekształca skończoną próbkę sygnału dyskretnego w dyskretne widmo. - Próbkowanie sygnału ciągłego z okresem $T_x$ (częstotliwość próbkowania $f_x = 1/T_x$) daje próbki $x[kT_x]$, a dla $N$ próbek otrzymujemy $$X\left[\frac{n}{N T_x}\right] = T_x \sum_{k=0}^{N-1} x\left[kT_x\right] e^{-\frac{2\pi k n}{N}},\quad n=0,1,\dots,N-1$$ - Rozdzielczość częstotliwościowa wynosi $\Delta f = f_x / N = 1 / (N T_x)$. > **Definicja:** Odwrotna DFT rekonstruuje sygnał z jego widma zgodnie z zależnością $$x[n] = \frac{1}{N T_x} \sum_{k=0}^{N-1} X\left[\frac{k}{N T_x}\right] e^{\frac{2\pi k n}{N}},\quad n=0,1,\dots,N-1$$ ### Uwaga na aliasing i periodyczność - DFT zakłada sygnał okresowy. Jeśli sygnał nie jest okresowy, pojawia się zjawisko wycieku widmowego (ang. spectral leakage). - Widmo jest okresowe z okresem $f_s = f_x$, tzn. $X(f) = X(f - f_s)$. Dlatego częściej stosuje się widmo jednostronne dla $f\in[0, f_s/2]$. ## Okienkowanie i tłumienie wycieku - Wyciek widmowy powoduje, że energia nie rozkłada się wyłącznie na dokładną częstotliwość, ale rozprzestrzenia się na sąsiednie częstotliwości. - Funkcje okna (np. Hanninga, Hamminga) redukują wyciek, wygładzając przejścia na końcach okna. > **Definicja:** Okno Hanninga jest przykładem funkcji, która mnoży krótki fragment sygnału, zmieniając w ten sposób jego wartości brzegowe w celu uzyskania lepszych właściwości częstotliwościowych. ## Widmo jednostronne i dwustronne - Widmo dwustronne przedstawia częstotliwości dodatnie i ujemne. Dla sygnałów rzeczywistych częstotliwości ujemne są lustrzanym odbiciem częstotliwości dodatnich. - Widmo jednostronne przedstawia tylko $f\ge 0$ do $f_s/2$ i jest w praktyce bardziej przejrzyste. ## Praktyczny przykład DFT - Przykład: sygnał dyskretny o częstotliwości 1 Hz, próbkowanie $f_x=20\,\mathrm{Hz}$ (czyli $T_x=0.05\,\mathrm{s}$), $N=60$ próbek (0–2.95 s). - Krok widma $\Delta f = f_x / N = 20/60 = 1/3\,\mathrm{Hz}$. - Widmo ma maksima przy 1 Hz, a także przy częstotliwościach odpowiadających symetrii widma (np. 19 Hz odpowiada składowej przy $-1\,\mathrm{Hz}$ dzięki periodyczności DFT). ## Ograniczenia analizy Fouriera - Transformata Fouriera wymaga liniowego i stacjonarnego systemu oraz stałych parametrów sygnału. - W przypadku sygnałów nieliniowych lub niestacjonarnych, uzyskane spektrum stanowi uśrednioną informację, która może maskować krótkotrwałe zdarzenia (impulsy). > **Definicja:** Wyciek widmowy (spectral leakage) to rozmycie energii składowej widmowej na sąsiednie częstotliwości w wyniku ograniczonej długości sygnału lub niewłaściwego okna. ## Przetwarzanie czasowo-częstotliwościowe (sygnały niestacjonarne) Gdy parametry sygnału zmieniają się w czasie, analiza Fouriera dla całej długości sygnału może nie być wystarczająca. Stosujemy metody czasowo-częstotliwościowe do śledzenia ewolucji widma w czasie. ### Krótkookresowa transformata Fouriera (STFT) - STFT oblicza transformatę Fouriera z krótkich, nakładających się segmentów sygnału. $$X(t,\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(\tau - t) e^{-j\omega\tau} d\tau$$ - Funkcja okna $h(t)$ określa długość segmentu. Zakładamy, że krótki segment jest (w przybliżeniu) stacjonarny. - Widmo amplitudowe można znormalizować czynnikiem korekcyjnym $$A(t,\omega) = 2 \frac{\left| X(t,\omega) \right|}{\frac{1}{T_w} \int_{0}^{T_w} h(\tau) d\tau}$$ - Długość okn