Przetwarzanie sygnałów i diagnostyka

TL;DR: Szybkie podsumowanie Przetwarzania Sygnałów i Diagnostyki

Przetwarzanie sygnałów i diagnostyka to kluczowa dyscyplina do analizy zachowania systemów i wykrywania usterek. Obszar ten koncentruje się na transformacji i interpretacji danych pomiarowych. Rozróżniamy sygnały deterministyczne i losowe, energetyczne i mocy, przy czym te niestacjonarne stanowią największe wyzwanie.

Do analizy zawartości częstotliwościowej wykorzystuje się przede wszystkim transformata Fouriera (FT), jej dyskretna wersja DFT (często implementowana jako FFT). Jest ona jednak odpowiednia tylko dla sygnałów stacjonarnych i okresowych. Dla danych niestacjonarnych konieczne jest zastosowanie metod czasowo-częstotliwościowych, takich jak krótkookresowa transformata Fouriera (STFT) lub bardziej zaawansowana transformata falkowa (WT). STFT dzieli sygnał na krótkie odcinki, natomiast WT wykorzystuje okna o zmiennej długości, co pozwala na lepszą rozdzielczość jednocześnie w dziedzinie czasu i częstotliwości. W diagnostyce ważne jest również zrozumienie energii, mocy i funkcji korelacji sygnałów oraz znajomość ograniczeń poszczególnych metod dla rzeczywistych danych, które często są niestacjonarne i nieliniowe.

Podstawy Przetwarzania Sygnałów i Diagnostyki

Przetwarzanie sygnałów i diagnostyka zajmuje się akwizycją, analizą i oceną sygnałów w celu określenia stanu i właściwości monitorowanego systemu. Jest to niezbędne np. do monitorowania maszyn lub wykrywania potencjalnych usterek. W praktyce często chodzi o przetwarzanie sygnałów wibracyjnych lub akustycznych.

Czym jest sygnał i jego podział?

Sygnał to wielkość fizyczna niosąca informację, która zmienia się w czasie. Możemy je podzielić na kilka kategorii:

• Sygnały deterministyczne: Można je opisać za pomocą precyzyjnego wyrażenia matematycznego. Dzielą się dalej na:
  • Sygnały okresowe: Powtarzają się z ustalonym okresem T, spełniając x(t) = x(T + t). Przykładem są sygnały harmoniczne o stałej częstotliwości i amplitudzie, takie jak x(t) = A sin(2πft + φ). A to amplituda, f to częstotliwość, a φ to faza początkowa.
  • Sygnały harmoniczne o zmiennej częstotliwości: Ich amplituda A(t) i częstotliwość f(t) mogą zmieniać się w czasie.
• Sygnały losowe: Nie można ich dokładnie opisać wzorem matematycznym, lecz raczej statystycznie.

Dalszy podział to sygnały energetyczne (których energia jest skończona i są ograniczone czasowo) oraz sygnały mocy (których moc jest skończona i są często okresowe).

Energia i Moc Sygnału

Dla charakterystyki sygnałów w dziedzinie czasu ważne są koncepcje energii i mocy:

• Energia sygnału E: Definiuje się ją jako całkę kwadratu wartości bezwzględnej sygnału w czasie. Jest skończona dla sygnałów o ograniczonym czasie trwania.
• Moc sygnału P: Oblicza się ją jako średnią czasową kwadratu wartości bezwzględnej sygnału. Jest skończona dla sygnałów okresowych.

Do innych charakterystyk należą składowa stała (wartość średnia) oraz wartość skuteczna x_ef, która jest pierwiastkiem kwadratowym z mocy sqrt(P). Na przykład dla sygnału x(t) = 1 + sin(2πt) o okresie T0 = 1 moc wynosi P = 1.5, składowa stała x_de = 1, a wartość skuteczna x_ef = 1.2247.

Funkcje Korelacji Sygnałów

Funkcje korelacji pomagają nam zrozumieć zależności wewnątrz sygnału lub między dwoma sygnałami:

• Funkcja autokorelacji R(τ): Mierzy podobieństwo sygnału do jego przesuniętej w czasie kopii. Za jej pomocą można stwierdzić, czy sygnał jest okresowy (funkcja autokorelacji sygnału okresowego jest również okresowa).
• Funkcja korelacji wzajemnej R_xy(τ): Określa zależność dwóch różnych sygnałów x(t) i y(t). Osiąga maksimum dla przesunięcia τ, przy którym sygnały są najbardziej podobne. Można w ten sposób określić np. przesunięcie czasowe między dwoma sygnałami. Jeśli dwa sygnały są niezależne, to funkcja korelacji wzajemnej jest zerowa.

Jako przykład można podać dwa dyskretne impulsy jednostkowe przesunięte o 2 sekundy. Ich funkcja korelacji wzajemnej R_xy osiągnie maksimum dla przesunięcia τ = 2s, co wskazuje, że pierwszy sygnał poprzedza drugi o 2 sekundy.

Analiza Częstotliwościowa Sygnałów: Transformata Fouriera (FT)

Analiza częstotliwościowa jest kluczowa dla zrozumienia, jakie składowe częstotliwościowe tworzą dany sygnał. Głównym narzędziem jest tutaj transformata Fouriera.

Zasada Działania Transformaty Fouriera

Transformata Fouriera to narzędzie matematyczne, które przekształca sygnał z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości. Jest przypadkiem granicznym szeregu Fouriera dla sygnałów nieokresowych. Obraz Fouriera X(ω) sygnału x(t) definiuje się jako całkę x(t) pomnożoną przez zespoloną eksponencjalną e^(-jωt) w całym zakresie czasu. Dla jej istnienia wystarczające jest, aby całka wartości bezwzględnej x(t) była skończona.

Wynikiem FT jest widmo amplitudowe |X(ω)| (funkcja parzysta częstotliwości) oraz widmo fazowe φ(ω) (funkcja nieparzysta częstotliwości), które opisują amplitudy i fazy poszczególnych składowych częstotliwościowych sygnału. W przeciwieństwie do szeregów Fouriera, częstotliwość w FT przyjmuje również wartości ujemne.

Dyskretna Transformata Fouriera (DFT i FFT)

W praktyce pracujemy z cyfrowymi sygnałami o skończonej długości. Dla nich stosuje się Dyskretną Transformatę Fouriera (DFT). Widmo obliczone za pomocą DFT nie jest ciągłe, lecz jest dyskretną sekwencją próbek. Do obliczania DFT wykorzystuje się wyłącznie algorytm szybkiej transformaty Fouriera (FFT), który jest znacznie bardziej efektywny.

Dla prawidłowej interpretacji wyników DFT konieczne jest, aby analizowany sygnał był okresowy, a jego parametry (amplituda, częstotliwość, faza) były stałe przez cały czas pomiaru. Przykładem jest analiza sygnału złożonego z trzech składowych harmonicznych, gdzie DFT precyzyjnie określi ich częstotliwości, amplitudy i fazy początkowe.

Pułapki DFT: Wyciek Widmowy i Funkcje Okna

Jeśli sygnał nie jest okresowy lub jego długość nie odpowiada całkowitej wielokrotności jego okresu, dochodzi do zjawiska zwanego wyciekiem widmowym (lub przeciekiem widmowym). Energia sygnału nie rozkłada się wtedy w widmie wyłącznie na danej częstotliwości, ale także w jej otoczeniu. Do tłumienia tego zjawiska stosuje się tzw. funkcje okna (np. okno Hanninga, Hamminga), które tłumią sygnał na krańcach analizowanego odcinka.

Widma Jednostronne vs. Dwustronne

Oś częstotliwości widma jest zazwyczaj przedstawiana jako widmo dwustronne (od częstotliwości ujemnych do dodatnich) lub jako widmo jednostronne (od 0 do f_s/2, gdzie f_s to częstotliwość próbkowania). Częstotliwości ujemne nie mają fizycznego znaczenia, dlatego w praktyce do wizualizacji widma amplitudowego stosuje się widma jednostronne.

Właściwości Transformaty Fouriera

Transformata Fouriera posiada kilka ważnych właściwości, które upraszczają jej zastosowanie:

• Liniowość: Transformata sumy sygnałów jest sumą transformat.
• Przesunięcie w czasie: Przesunięcie sygnału w czasie wpływa jedynie na widmo fazowe.
• Przesunięcie w częstotliwości: Przesunięcie częstotliwości w dziedzinie czasu odpowiada przesunięciu w dziedzinie częstotliwości.
• Iloczyn sygnałów: Transformata Fouriera iloczynu dwóch sygnałów odpowiada splotowi ich obrazów Fouriera.
• Splot sygnałów: Transformata Fouriera splotu dwóch sygnałów odpowiada iloczynowi ich obrazów Fouriera.
• Twierdzenie Parsevala: Zachowuje energię sygnału, tzn. energia w dziedzinie czasu jest taka sama jak energia w dziedzinie częstotliwości.

Do transformat Fouriera wybranych funkcji należą np. impuls Diraca, którego transformatą jest stała 1, lub sygnał stały, którego transformatą jest impuls Diraca w dziedzinie częstotliwości.

Przetwarzanie Sygnałów Niestacjonarnych: Analiza Czasowo-Częstotliwościowa

Dla sygnałów, których parametry zmieniają się w czasie (tzw. sygnały niestacjonarne), klasyczna transformata Fouriera nie jest odpowiednia, ponieważ dostarcza jedynie ogólną zawartość częstotliwościową bez informacji o tym, kiedy poszczególne częstotliwości się pojawiły. Dlatego stosuje się metody czasowo-częstotliwościowe.

Krótkookresowa Transformata Fouriera (STFT)

Krótkookresowa transformata Fouriera (STFT), czyli Short-Time Fourier Transform, to transformata Fouriera obliczana z krótkich, przesuwanych w czasie odcinków analizowanego sygnału. Każdy taki odcinek jest