Riassunto di Sistemi di Equazioni Lineari

## Introduzione I sistemi lineari e le equazioni lineari sono strumenti fondamentali per modellare situazioni con due o più variabili che seguono relazioni di primo grado. In geometria le equazioni lineari in due incognite rappresentano rette nel piano cartesiano; nelle applicazioni pratiche servono per pianificare, confrontare costi, distribuire risorse e risolvere problemi quotidiani. > **Definizione:** Un'equazione lineare in due incognite è un'espressione del tipo $ax + by = c$, con $a$, $b$, $c$ numeri reali e $a$ e $b$ non entrambi nulli. ## Equazioni lineari in due incognite ### Concetto di soluzione Un'**equazione lineare** in due incognite $x$ e $y$ è soddisfatta da tutte le coppie ordinate $(x,y)$ che rendono vera l'uguaglianza. Le soluzioni di $ax + by = c$ corrispondono ai punti della retta nel piano cartesiano associata all'equazione. > **Definizione:** Se $b \neq 0$ l'equazione $ax + by = c$ può essere esplicitata come $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$, che è l'equazione di una retta con coefficiente angolare $m = -\frac{a}{b}$ e ordinata all'origine $q = \frac{c}{b}$. ### Esempio pratico Considera l'equazione $x + 2y = 6$. Esplicitando $y$ otteniamo $$y = -\frac{1}{2}x + 3$$ I punti della retta sono soluzioni: per $x = 0$ abbiamo $y = 3$, per $x = 4$ abbiamo $y = 1$, ecc. Le coppie $(0,3)$, $(4,1)$, $(6,0)$ sono soluzioni. ### Rappresentazione grafica - La retta di equazione $y = mx + q$ è completamente determinata da $m$ e $q$. - Due punti distinti determinano una retta: scegliendo due soluzioni dell'equazione puoi tracciare la retta e ottenere tutte le soluzioni. Fun fact: Le equazioni lineari in due incognite modellano molte situazioni reali, per esempio il costo totale di un prodotto $C = p\cdot q + f$ può essere scritto come equazione lineare rispetto a $q$ quando $p$ e $f$ sono costanti. ## Sistemi e concetti collegati > **Definizione:** Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni per le quali cerchiamo le soluzioni comuni, cioè le assegnazioni delle incognite che soddisfano simultaneamente tutte le equazioni. ### Tipi di sistemi (classificazione generale) - **Determinato:** il sistema ha un numero finito di soluzioni. - **Impossibile:** il sistema non ha soluzioni. - **Indeterminato:** il sistema ha infinite soluzioni. > **Esempio di sistema impossibile:** $$\left\{ \begin{array}{l} 7x - y = 3 \\ 7x - y = 8 \end{array} \right.$$ Non esistono $(x,y)$ che soddisfino contemporaneamente entrambe le equazioni. > **Esempio di sistema indeterminato:** $$\left\{ \begin{array}{l} 7x - y = 3 \\ 4\cdot(7x - y) = 12 \end{array} \right.$$ La seconda equazione è equivalente alla prima moltiplicata per 4, quindi le soluzioni sono le stesse e infinite (una retta di soluzioni). ### Sistemi razionali e grado > **Definizione:** Un sistema formato da equazioni razionali è detto intero se tutte le equazioni sono intere; altrimenti è detto fratto. Tabella di confronto: tipi di sistemi | Caratteristica | Determinato | Impossibile | Indeterminato | | --- | ---: | ---: | ---: | | Numero di soluzioni | finito | 0 | infinito | | Esempio base | due rette che si incontrano in un punto | due rette parallele distinte | due rette coincidenti | ## Strategie pratiche per lavorare con equazioni lineari 1. Esplicitare una variabile quando possibile per ottenere la forma $y = mx + q$. 2. Trovare due soluzioni particolari per disegnare la retta velocemente. 3. Controllare coerenza con numeri interi o frazioni per evitare errori di calcolo. 4. Confrontare equazioni per verificare equivalenza tra righe del sistema. ### Esempio applicativo: pianificare una giornata in spa (modellizzazione semplice) Immagina due tipi di pacchetti: un pacchetto base costa $b$ euro, un pacchetto plus costa $p$ euro. Se vuoi spendere complessivamente $S$ euro con $x$ pacchetti base e $y$ pacchetti plus, la relazione è $$bx + py = S$$ Scegliendo valori per $x$ e $y$ che soddisfano l'equazione ottieni combinazioni compatibili col budget.