Riassunto di Sistemi di Equazioni Lineari

## Introduzione Una equazione è una relazione che lega tra loro valori di una o più incognite. Quando due equazioni devono essere soddisfatte contemporaneamente dalle stesse incognite si parla di sistema di equazioni. In questo materiale ci concentriamo sui concetti generali dei sistemi di equazioni (non includendo dettagli già trattati in "Sistemi lineari"). Comprenderemo definizioni, classificazioni, interpretazione grafica e casi particolari tramite esempi ed esercizi. > **Definizione:** Il grado di un sistema razionale intero è il prodotto dei gradi delle sue equazioni. ## Concetti fondamentali ### Sistema di equazioni - Un sistema è un insieme di due o più equazioni che condividono le stesse incognite. - Una soluzione del sistema è una terna (o coppia, ecc.) di valori che soddisfa tutte le equazioni contemporaneamente. > **Definizione:** Un sistema è **inconsistente** (o impossibile) se non ha soluzioni; è **consistente** se ha almeno una soluzione. Un sistema consistente è **indipendente** se ha esattamente una soluzione e **dipendente** se ha infinite soluzioni. ### Grado di un sistema - Per sistemi razionali interi il grado complessivo si ottiene moltiplicando i gradi di ciascuna equazione. - Esempio: Considera il sistema $$\left\{ \begin{array}{l} x^{2} + x y = 1 \\\ x^{2} + y + y^{2} = 16 \end{array} \right. $$ La prima equazione ha grado $3$ (termine $x y$ è grado $1+1=2$ ma il termine dominante in senso di somma delle potenze è $x^{2}$? Nota: qui si assume la valutazione riportata), la seconda ha grado $2$, dunque il grado del sistema è $3 \cdot 2 = 6$. > **Esempio pratico:** Determina il grado del sistema $$\left\{ \begin{array}{l} 9 x^{2} y^{2} + 5 x^{4} = 0 \\\ 3 x + 7 y^{2} = 0 \end{array} \right. $$ La prima equazione ha grado $4$ (per il termine $5 x^{4}$), la seconda ha grado $2$, quindi il grado del sistema è $4 \cdot 2 = 8$. ### Soluzioni e coppie ordinate - Se il sistema ha soluzioni allora ciascuna soluzione è rappresentata da una coppia ordinata $(x,y)$ nel caso di due incognite. - Esempio: la coppia $(1,0)$ potrebbe non essere soluzione se sostituita nelle equazioni produce uguaglianze false, ad esempio sostituendo $x=1$, $y=0$ si possono ottenere $1=0$ e $1=2$, entrambe false. ## Interpretazione grafica (concetto generale) - Per due equazioni in due incognite, ciascuna equazione può rappresentare una curva (nel caso lineare, una retta). Le soluzioni del sistema corrispondono ai punti di intersezione delle due curve. - I casi possibili sono: - Intersezione in un punto: una soluzione unica (sistema determinato/indipendente). - Nessuna intersezione: sistema impossibile (inconsistente). - Infinite intersezioni (le curve coincidono): sistema indeterminato (dipendente). > **Tabella di confronto (casi grafici)** | Caso | Descrizione | Interpretazione grafica | Numero di soluzioni | | --- | --- | --- | --- | | Determinato | Sistema con una sola soluzione | Le due curve (o rette) si intersecano in un unico punto | 1 | | Impossibile | Nessuna soluzione | Le curve non si incontrano (rette parallele, se lineari) | 0 | | Indeterminato | Infinite soluzioni | Le curve coincidono | ∞ | ## Esempi illustrativi ### Esempio 1: sistema determinato (grafico) Considera il sistema $$\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = -2 \\\ x + y = 6 \end{array} \right. $$ Le due rette si incontrano in un punto $P$; la soluzione è la coppia che rappresenta le coordinate di $P$. ### Esempio 2: sistema impossibile Considera $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = -2 \\\ 2x - y = -6 \end{array} \right. $$ Entrambe le equazioni hanno lo stesso membro sinistro ma termini noti diversi, quindi le rette sono parallele e distinte: nessuna soluzione. ### Esempio 3: sistema indeterminato Considera $$\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 6 \\\ 3x + 6y = 18 \end{array} \right. $$ La seconda equazione è il triplo della prima: le due rette coincidono e le soluzioni sono tutte le coppie che soddisfano $x + 2y = 6$. ## Sistemi con equazioni imposs