Riassunto di Equazioni Lineari in Due Incognite

## Introduzione I sistemi lineari servono a risolvere problemi con più incognite quando una singola equazione non è sufficiente. In algebra elementare un sistema lineare è un insieme di equazioni di primo grado che coinvolgono le stesse incognite; le soluzioni del sistema sono le coppie (o tuple) di valori che soddisfano tutte le equazioni contemporaneamente. > Definizione: Un sistema lineare è un insieme di equazioni del tipo $$a_1x + b_1y = c_1$$ $$a_2x + b_2y = c_2$$ dove $a_i$, $b_i$, $c_i$ sono numeri reali e $x$, $y$ sono le incognite. ## Concetti fondamentali ### Equazione lineare in due incognite Un'equazione lineare nelle incognite $x$ e $y$ ha la forma $$ax + by = c$$ con $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$ e almeno uno tra $a$ e $b$ diverso da zero. Esplicitando $y$ (se $b \neq 0$) otteniamo una funzione lineare $$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$$ che nel piano cartesiano è rappresentata da una retta. Le soluzioni dell'equazione singola sono quindi infinite e corrispondono ai punti di quella retta. > Definizione: Una soluzione di un'equazione in due incognite è una coppia ordinata $(x,y)$ che verificano l'equazione quando sostituite. ### Sistema di due equazioni in due incognite Un sistema di due equazioni lineari è $$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$ Le sue possibili situazioni geometriche nel piano sono: | Situazione | Interpretazione geometrica | Numero di soluzioni | |---|---:|---:| | rette coincidenti | le due equazioni rappresentano la stessa retta | infinite | | rette parallele e distinte | le rette non si incontrano | 0 | | rette concorrenti | le rette si incontrano in un punto | 1 | > Definizione: Una soluzione del sistema è la coppia $(x,y)$ che soddisfa tutte le equazioni del sistema. ### Metodi di risoluzione - Sostituzione: si esprime una incognita da una equazione e si sostituisce nell'altra. - Confronto: si esprimono la stessa incognita in entrambe le equazioni e si uguagliano le espressioni. - Somma (o eliminazione): si sommano o sottraggono le equazioni dopo averle eventualmente moltiplicate in modo da eliminare un'incognita. Esempio rapido (metodo della somma): Dati $$\begin{cases} x + 2y = 6 \\ 3x - y = 2 \end{cases}$$ Moltiplichiamo la seconda equazione per 2 e sommiamo per eliminare $y$: $$3x - y = 2$$ $$6x - 2y = 4$$ Sommiamo con la prima: $$x + 2y = 6$$ $$6x - 2y = 4$$ Somma: $$7x = 10$$ Quindi $$x = \frac{10}{7}$$ Sostituendo in $$x + 2y = 6$$ otteniamo $$\frac{10}{7} + 2y = 6$$ Sottraiamo $\frac{10}{7}$: $$2y = 6 - \frac{10}{7} = \frac{42}{7} - \frac{10}{7} = \frac{32}{7}$$ $$y = \frac{16}{7}$$ ### Interpretazione grafica Ogni equazione del sistema corrisponde a una retta; la soluzione del sistema è il punto di intersezione delle rette (se esiste). Ad esempio, l'equazione $$x + 2y = 6$$ corrisponde alla retta $$y = -\frac{1}{2}x + 3$$ e le soluzioni sono tutti i punti su quella retta. Fun fact: Le tecniche per risolvere sistemi lineari sono alla base di molti algoritmi di grafica computerizzata e di calcolo delle proiezioni in 3D. ## Esempi con applicazioni pratiche ### Esempio 1 — Organizzare una giornata alla spa Supponiamo che l'ingresso giornaliero alla spa costi $a$ euro per la sauna e $b$ euro per il massaggio. Se una coppia spende complessivamente $c$ euro e sa che hanno usufruito di 3 saune e 2 massaggi, possiamo scrivere $$3a + 2b = c$$ Se in un'altra occasione per 1 sauna e 4 massaggi hanno speso $d$ euro: $$a + 4b = d$$ Risolviendo il sistema si trovano i prezzi $a$ e $b$. Questo mostra come i sistemi lineari modellano problemi di costo e pianificazione. ### Esempio 2 — Problema con numeri interi Trova due numeri $x$ e $y$ tali che la loro somma sia 10 e il doppio del primo più il triplo del secondo sia 28. Scriviamo il sistema: $$\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + 3y = 28 \end{cases}$$ Da $x + y = 10$ otteniamo $x = 10 - y$. Sostituendo nella seconda: $$2(10 - y) + 3y = 28$$ Svolgendo: $$20 - 2y + 3y = 28$$ $$20