Resumen de Wronskiano y Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

## Introducción Las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son una clase fundamental de ecuaciones que aparecen en física, ingeniería y otros campos aplicados. En esta unidad veremos la forma general, el procedimiento para encontrar la solución general de la ecuación homogénea asociada y técnicas para construir soluciones cuando aparecen raíces reales distintas, raíces reales repetidas y raíces complejas conjugadas. También se presentan aplicaciones y ejemplos prácticos. > **Definición:** Una ecuación diferencial lineal de orden $n$ con coeficientes constantes tiene la forma > $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(x),$$ > donde $a_i$ son constantes y $f(x)$ es una función dada. ## Ecuación homogénea asociada Para analizar la parte homogénea se considera $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0.$$ Buscamos soluciones de la forma $y=e^{mx}$, lo que conduce a la ecuación característica: $$a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \cdots + a_1 m + a_0 = 0.$$ Las raíces de este polinomio característico determinan la forma de la solución general. ### Casos según las raíces del polinomio característico - Raíces reales distintas: si las raíces son $m_1, m_2, \dots, m_n$ todas distintas, la solución general es $$y_c = C_1 e^{m_1 x} + C_2 e^{m_2 x} + \cdots + C_n e^{m_n x}.$$ - Raíces reales repetidas: si $m$ es raíz de multiplicidad $r$, las soluciones asociadas son $$e^{m x},\; x e^{m x},\; x^2 e^{m x},\; \dots,\; x^{r-1} e^{m x}.$$ - Raíces complejas conjugadas: si aparecen pares $m=\alpha + \beta i$ y $\overline{m}=\alpha - \beta i$, las soluciones reales asociadas son $$e^{\alpha x}\cos(\beta x),\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$ > **Definición:** La solución general de la ecuación homogénea es la combinación lineal de todas las soluciones independientes obtenidas a partir de las raíces del polinomio característico. ## Procedimiento paso a paso (resumen práctico) 1. Escribir la ecuación homogénea y construir la ecuación característica. 2. Calcular las raíces del polinomio característico. 3. Formar la solución complementaria $y_c$ según el tipo y multiplicidad de raíces. 4. Si la ecuación es no homogénea ($f(x)\neq 0$), hallar una solución particular $y_p$ por un método apropiado (por ejemplo, coeficientes indeterminados o variación de constantes) y componer $y=y_c+y_p$. ## Ejemplos ### Ejemplo 1: raíces reales distintas Resolver la ecuación $$y'' - 3y' + 2y = 0.$$ La ecuación característica es $$m^2 - 3m + 2 = 0.$$ Las raíces son $m_1 = 1$, $m_2 = 2$. Por tanto $$y_c = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}.$$ ### Ejemplo 2: raíces reales repetidas Resolver $$y'' - 2y' + y = 0.$$ Característica: $$m^2 - 2m + 1 = 0$$ con raíz doble $m=1$ de multiplicidad 2. Entonces $$y_c = (C_1 + C_2 x) e^{x}.$$ ### Ejemplo 3: raíces complejas conjugadas Resolver $$y'' + 4y = 0.$$ Característica: $$m^2 + 4 = 0$$ con raíces $m=2i$, $m=-2i$. La solución real es $$y_c = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x).$$ > **Aplicación real:** En circuitos RLC lineales ideales, la ecuación para la corriente o la carga suele ser una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes; las raíces determinan si el circuito está subamortiguado (oscilatorio), críticamente amortiguado o sobreamortiguado. ## Comparación de casos (tabla) | Tipo de raíces | Forma de las soluciones básicas | Ejemplo típico | | --- | ---: | --- | | Reales distintas | $e^{m_i x}$ | $y'' - 3y' + 2y = 0$ | | Reales repetidas | $x^k e^{m x}$, $k=0,\dots,r-1$ | $y'' - 2y' + y = 0$ | | Complejas conjugadas | $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$, $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ | $y'' + 4y = 0$ | ## Principio de superposición > **Definición:** Si $y_1, y_2, \dots, y_k$ son soluciones de la ecuación homogénea lineal, entonces cualquier combinación lineal $C_1 y_1 + \cdots + C_k y_k$ también es solución. - Esto permite construir la solución general como combinación lineal de soluciones independientes. ## Métodos para la parte no homogénea (breve) - Coefic