Resumen de Vectores y Geometría del Espacio

## Introducción El **producto cruz** es una operación entre dos vectores en el espacio que produce un tercer vector perpendicular a ambos y cuya magnitud está relacionada con el ángulo entre ellos. En este material nos enfocaremos en la interpretación geométrica de la magnitud del producto cruz, su uso para detectar paralelismo y el cálculo de áreas de figuras planas formadas por vectores. Presentaremos conceptos fragmentados, ejemplos guiados y aplicaciones prácticas. > **Definición:** Dado dos vectores $oldsymbol{a}$ y $oldsymbol{b}$ en $ obreak ext{R}^3$, el producto cruz $oldsymbol{a} imesoldsymbol{b}$ es un vector perpendicular a ambos cuya magnitud satisface $$\lvert \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\rvert = \lvert \boldsymbol{a}\rvert\,\lvert \boldsymbol{b}\rvert\,\sin(\theta)$$ donde $\theta$ es el ángulo entre $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$, $0\leq\theta\leq\pi$. ## Partes principales ### 1) Relación magnitud–ángulo - La magnitud $\lvert\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\rvert$ depende de las longitudes de los vectores y del seno del ángulo entre ellos: $$\lvert\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\rvert = \lvert\boldsymbol{a}\rvert\,\lvert\boldsymbol{b}\rvert\,\sin(\theta).$$ - Interpretación: cuanto más próximos a ser perpendiculares están, mayor es la magnitud; si son paralelos, la magnitud es cero. > **Definición:** Dos vectores no nulos son **paralelos** si y sólo si su producto cruz es el vector nulo: $$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0} \iff \theta=0\text{ o }\theta=\pi.$$ ### 2) Detección de paralelismo y ortogonalidad - Para verificar **paralelismo**: calcular $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$. Si da $\boldsymbol{0}$ y ambos vectores son no nulos, son paralelos. - Para verificar **ortogonalidad** (recordatorio breve): si el producto punto $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$, entonces son perpendiculares. Tabla comparativa | Propiedad | Prueba algebraica | Interpretación geométrica | |---|---:|---| | Paralelismo | $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$ | Ángulo $\theta=0$ o $\theta=\pi$ | | Ortogonalidad | $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$ | Ángulo $\theta=\tfrac{\pi}{2}$ | ### 3) Área del paralelogramo y del triángulo - El área del paralelogramo formado por $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$ es: $$\text{Área}_{\text{paralelogramo}} = \lvert\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\rvert.$$ - El área del triángulo formado por $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$ como lados adyacentes es: $$\text{Área}_{\text{triángulo}} = \tfrac{1}{2}\,\lvert\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\rvert.$$ > **Definición:** Si $P,Q,R$ son vértices de un triángulo, y se toman vectores de lado como $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{PR}$, entonces el área del triángulo $\triangle PQR$ es $$\tfrac{1}{2}\,\lvert\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\rvert. $$ ## Ejemplos guiados ### Ejemplo 1: Verificar paralelismo Aplicación: Verifique si $\boldsymbol{u}=\langle 1,-2,3\rangle$ y $\boldsymbol{v}=\langle -3,6,-9\rangle$ son paralelos. Cálculo del producto cruz: $$\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ -3 & 6 & -9 \end{vmatrix}$$ Expresando los componentes por desarrollo: $$\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}= (18-18)\,\boldsymbol{i} -(-9-(-9))\,\boldsymbol{j} + (6-6)\,\boldsymbol{k} = \boldsymbol{0}.$$ Como el producto cruz es $\boldsymbol{0}$ y los vectores no son nulos, concluimos que son paralelos. Observación: $\boldsymbol{v}=-3\,\boldsymbol{u}$. ### Ejemplo 2: Área de un triángulo a partir de coordenadas Aplicación: Encuentre el área del triángulo con vértices en $P(1,4,6)$, $Q(-2,5,-1)$ y $R(1,-1,1)$. 1) Formar vectores de lados desde $P$: $$\overrightarrow{PQ}=\langle -2-1,\;5-4,\;-1-6\rangle=\langle -3,\;1,\;-7\rangle.$$ $$\overrightarrow{PR}=\langle 1-1,\;-1-4,\;1-6\rangle=\langle 0,\;-5,\;-5\rangle.$$ 2) Calcular el producto cruz: $$\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begi