Resumen de Trigonometría: Conceptos Fundamentales y Aplicaciones

## Introducción La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y las longitudes en triángulos y las funciones trigonométricas que aparecen al extender esos conceptos a círculos y ondas. Este material está pensado para un estudiante que no asiste a clases presenciales y necesita explicaciones claras, ejemplos resueltos y herramientas para practicar. > Definición: La trigonometría relaciona ángulos con razones entre lados de triángulos rectángulos y con funciones periódicas definidas en la circunferencia unitaria. ## 1. Ángulos y medidas ### 1.1 Partes de un ángulo - **Vértice**: punto común de los dos rayos. - **Lado inicial** y **lado terminal**: rayo desde el vértice antes y después de la rotación. - Un ángulo se considera **positivo** si la rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj y **negativo** si es en sentido horario. ### 1.2 Sistemas de medida - Sistema sexagesimal: unidad $1^{\circ}$ corresponde a $\frac{1}{360}$ de una revolución. - Subdivisiones: $1^{\circ}=60'$ (minutos), $1'=60''$ (segundos). > Definición: El radián es el ángulo que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. - Equivalencias clave: $$360^{\circ}=2\pi\ \text{rad}$$ $$180^{\circ}=\pi\ \text{rad}$$ $$90^{\circ}=\frac{\pi}{2}\ \text{rad}$$ - Valores aproximados: $1\ \text{rad}\approx 57.296^{\circ}$, $1^{\circ}\approx 0.01745\ \text{rad}$. ### Ejemplo práctico Convertir $60^{\circ}$ a radianes: $$60^{\circ}=\frac{60\pi}{180}=\frac{\pi}{3}\ \text{rad}$$ ## 2. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos ### 2.1 Definiciones (ángulo $\alpha$) - $\sin\alpha=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ - $\cos\alpha=\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$ - $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$ > Definición: Las razones recíprocas son $\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}$, $\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha}$, $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}$. ### 2.2 Ejemplo resuelto Triángulo rectángulo con catetos $8$ y $6$. Hipotenusa: $$\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$$ Si $\alpha$ tiene cateto opuesto $6$ y adyacente $8$: $$\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\quad \cos\alpha=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},\quad \tan\alpha=\frac{3}{4}$$ ### Tabla: razones para ángulos especiales | Grados | Radianes | $\sin$ | $\cos$ | |---:|:---:|:---:|:---:| | $0^{\circ}$ | $0$ | $0$ | $1$ | | $30^{\circ}$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | | $45^{\circ}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | | $60^{\circ}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | | $90^{\circ}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | Fun fact: La relación $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ es una identidad que refleja geométricamente el teorema de Pitágoras en la circunferencia unitaria. ## 3. Identidades trigonométricas fundamentales - Pitagóricas: $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$, $1+\tan^{2}x=\sec^{2}x$, $1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$. - Cocientes: $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$. - Recíprocas: $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$. ### 3.1 Fórmulas de suma y resta - $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ - $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ - $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ ### 3.2 Doble ángulo - $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$ - $\cos(2\alpha)=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=1-2\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1$ - $\tan(2\alpha)=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$ ## 4. Circunferencia unitaria y funciones trigonométricas para todos los ángulos - Punto en la circunferencia unitaria: $P(x,y)$ con $x^{2}+y^{2}=1$. - Para un ángulo $t$ (radianes) medido desde $(1,0)$, el punto terminal es $P(\cos t,\sin t)$. - Dominio de $\sin,\cos$ es $\mathbb{R}$; recorrido $[-1,1]$. ### 4.1 Signo según cuadrante Tabla rápida: | Cuadrante | Signos (sin, cos, tan) | |---:|:---:| | I | + ,