Resumen de Técnicas Avanzadas de Diferenciación

## Introducción La derivación de funciones estudia cómo cambian las funciones respecto de una variable. En este material nos enfocamos en dos herramientas esenciales para derivar funciones compuestas y funciones con exponentes o bases variables: la **regla de la cadena** y la **derivación logarítmica**. Presentaremos definiciones, pasos claros, ejemplos resueltos y aplicaciones prácticas para estudiantes que no asisten a clases presenciales. > Definición: Una función compuesta es una función que se obtiene aplicando primero una función $f$ y luego otra $g$, y se denota $g(f(x))$. ## Parte A: Regla de la cadena (derivada de una función compuesta) ### Concepto clave Cuando una función depende de otra función, para derivarla usamos la regla de la cadena: derivar la función exterior y multiplicar por la derivada de la función interior. > Definición: Si $u=f(x)$ y $y=g(u)$, entonces $y=g(f(x))$ es una función compuesta y su derivada se obtiene por la regla de la cadena. ### Fórmula Si $u=f(x)$ y $y=g(u)$ entonces: $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$ En notación de primos: si $y=g(u)$ y $u=f(x)$, entonces $y'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$. ### Pasos para aplicar la regla 1. Identificar la función exterior $g(\cdot)$ y la función interior $u=f(x)$. 2. Derivar la función exterior respecto de su argumento: $g'(u)$. 3. Derivar la función interior: $f'(x)$. 4. Multiplicar: $g'(f(x))\cdot f'(x)$. 5. Expresar el resultado únicamente en la variable independiente $x$. ### Ejemplos resueltos 1) $y=\sin\left(x^{3}\right)$. Sea $u=x^{3}$, entonces: $$\frac{dy}{dx}=\cos\left(u\right)\cdot\frac{du}{dx}=\cos\left(x^{3}\right)\cdot 3x^{2}$$ Resultado: $y'=\cos\left(x^{3}\right)\cdot 3x^{2}$. 2) $y=\ln\left(x^{2}-2x\right)$. Sea $u=x^{2}-2x$, entonces: $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{x^{2}-2x}\cdot\left(2x-2\right)$$ Resultado: $y'=\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x}$. 3) $y=\left(2x^{2}-4x+3\right)^{3}$. Sea $u=2x^{2}-4x+3$, entonces: $$\frac{dy}{dx}=3u^{2}\cdot\frac{du}{dx}=3\left(2x^{2}-4x+3\right)^{2}\cdot\left(4x-4\right)$$ Resultado: $y'=3\left(2x^{2}-4x+3\right)^{2}\left(4x-4\right)$. 4) $y=\sqrt{\,x^{3}-x^{4}\,}=\left(x^{3}-x^{4}\right)^{1/2}$. Sea $u=x^{3}-x^{4}$, entonces: $$\frac{dy}{dx}=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot\frac{du}{dx}=\tfrac{1}{2}\left(x^{3}-x^{4}\right)^{-1/2}\cdot\left(3x^{2}-4x^{3}\right)$$ Resultado: $y'=\dfrac{3x^{2}-4x^{3}}{2\sqrt{x^{3}-x^{4}}}$. ### Tabla comparativa: funciones y aplicación de la regla | Tipo de función | Identificación interior | Derivada según regla de la cadena | |---|---:|---| | $\sin\left(x^{3}\right)$ | $u=x^{3}$ | $\cos\left(x^{3}\right)\cdot 3x^{2}$ | | $\ln\left(x^{2}-2x\right)$ | $u=x^{2}-2x$ | $\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x}$ | | $\left(g(x)\right)^{n}$ | $u=g(x)$ | $n\left(g(x)\right)^{n-1}g'(x)$ | ### Aplicaciones prácticas - Modelado de fenómenos físicos donde una variable depende de otra (por ejemplo, posición dependiendo del tiempo mediante una función compuesta). - Transformaciones en gráficos: derivar funciones transformadas como $\sin(ax+b)$, $\ln(ax+b)$. Fun fact: La regla de la cadena tiene una interpretación geométrica: la rapidez de cambio total es el producto de la rapidez del cambio interno por la rapidez de cambio externo, igual que encadenar dos máquinas donde la salida de la primera es la entrada de la segunda. ## Parte B: Derivación logarítmica ### ¿Cuándo usarla? La derivación logarítmica es útil cuando la función a derivar tiene una forma como $y=\left(g(x)\right)^{h(x)}$ o cuando producto/ cociente de factores con potencias complicadas dificulta la derivación directa. > Definición: La derivación logarítmica consiste en tomar logaritmo natural de ambos lados, usar propiedades de logaritmos y luego derivar implícitamente para despejar $y'$. ### Pasos 1. Sea $y=\left(g(x)\right)^{h(x)}$. Tomar logaritmo natural: $\ln y = h(x)\ln\left(g(x)\right)$. 2. Derivar ambos lados respecto de $x$ aplicando regla de la cadena en el lado izquierdo: $\dfrac{1}{y}y' =