Técnicas Avanzadas de Diferenciación: Guía Completa 2025
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Pregunta: ¿Qué es una función compuesta y cómo se escribe matemáticamente si f: A→B con u=f(x) y g: B→C con y=g(u)?
Respuesta: Es la función que resulta de aplicar primero f y luego g al resultado; se escribe g(f(x)).
Pregunta: ¿Por qué la composición de funciones no es conmutativa?
Respuesta: Porque g(f(x)) y f(g(x)) suelen ser diferentes; cambiar el orden de composición cambia la función obtenida.
Pregunta: En la regla de la cadena, si u=f(x) y y=g(u), ¿cómo se expresa dy/dx?
Respuesta: dy/dx = (dy/du)·(du/dx). Es decir, se deriva la función externa respecto de su argumento y se multiplica por la derivada del argumento respecto de x.
Pregunta: ¿Cuál es el procedimiento general al derivar una función compuesta?
Respuesta: Derivar primero la función externa (principal) respecto de su argumento y luego multiplicar por la derivada del argumento; finalmente expresar el resu
Pregunta: Deriva y = sen(x^3) aplicando la regla de la cadena y expresa el resultado en términos de x.
Respuesta: y' = cos(x^3)·3x^2.
Pregunta: Deriva y = ln(x^2 - 2x) usando la regla de la cadena.
Respuesta: y' = (1/(x^2 - 2x))·(2x - 2) = (2x - 2)/(x^2 - 2x).
Pregunta: Al derivar y = (x^3 - 4x^2 + 2)^4, ¿qué pasos sigue la regla de la cadena?
Respuesta: Se deriva la potencia externa 4·(argumento)^3 y se multiplica por la derivada del argumento (3x^2 - 8x). Resultado: y' = 4(x^3 - 4x^2 + 2)^3·(3x^2 - 8
Pregunta: ¿Cómo se aplica la regla de la cadena para una raíz como y = √(x^3 - x^4)?
Respuesta: Tratar la raíz como potencia 1/2: y' = (1/2)(x^3 - x^4)^{-1/2}·(3x^2 - 4x^3), es decir, derivar la potencia y multiplicar por la derivada del radicand
Pregunta: ¿Qué es la derivación logarítmica y cuándo se usa?
Respuesta: Es un método para derivar funciones de la forma g(x)^{h(x)} o g(x)^{a}; se aplica tomando ln en ambos lados y derivando para simplificar el manejo de
Pregunta: Al aplicar ln a y = v^u (con v=g(x), u=h(x)), ¿qué identidad logarítmica se usa y qué queda al derivar?
Respuesta: Se usa ln(y)=u·ln(v). Al derivar: y'/y = u'·ln(v) + u·(v'/v). Luego despejas y' = y·[u'·ln(v) + u·(v'/v)].