Resumen de Sumatorias y Series Matemáticas

## Introducción Las sumatorias y series son herramientas fundamentales en matemáticas que permiten describir y calcular la suma ordenada de muchos términos mediante una notación compacta. Aprender a reconocer patrones, escribir sumas como sumatorias y evaluar series facilita el trabajo con progresiones aritméticas, geométricas y sumas telescópicas en problemas teóricos y aplicaciones prácticas. > **Definición:** Una sumatoria es una notación compacta para indicar la suma de una colección ordenada de términos; se expresa con el símbolo $\sum$ y un índice que recorre un conjunto de valores. ## Conceptos básicos ### Notación de sumatoria - La forma general es $\displaystyle \sum_{k=a}^{b} t_k$, donde $k$ es el índice, $a$ el límite inferior, $b$ el límite superior y $t_k$ el término general. - Interpretación: sumar $t_a + t_{a+1} + \cdots + t_b$. > **Definición:** El término general $t_k$ describe cómo depende cada término de la posición $k$ dentro de la suma. ### Propiedades importantes - **Linealidad:** $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (c\,a_k \pm b_k) = c\sum_{k=1}^{n} a_k \pm \sum_{k=1}^{n} b_k$. - **Separación por intervalos:** Si $1\le m< n$ entonces $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k$. ## Sumas notables - Suma de los primeros $n$ naturales: $$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n\,(n+1)}{2}$$ - Suma de los primeros $n$ cuadrados: $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}$$ - Suma de los primeros $n$ cubos: $$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n\,(n+1)}{2}\right)^2$$ ## Series geométricas - Definición: una serie geométrica tiene términos con razón constante $r$, por ejemplo $a, ar, ar^2, \ldots$. - Suma finita de $n$ términos: $$S_n = a\frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad r \neq 1$$ ## Sumas telescópicas - Concepto: cuando el término general es una diferencia que provoca cancelaciones internas, la suma queda reducida a unos pocos términos. > **Definición:** Si $t_k = f(k+1) - f(k)$ entonces $$\sum_{k=a}^{b} t_k = f(b+1) - f(a).$$ ## Cómo convertir una suma en sumatoria (ejemplos) 1. Suma aritmética creciente: $4 + 8 + 12 + \cdots + 400$. - Observa que cada término es $4k$ con $k=1,2,\dots,100$ porque $4\cdot100=400$. - Sumatoria: $$\sum_{k=1}^{100} 4k$$ 2. Suma decreciente: $120 + 118 + 116 + \cdots + 40$. - Es una progresión aritmética con diferencia $-2$. Término general: $120 - 2(k-1)$. - Para hallar número de términos $n$ resolvemos $120 - 2(n-1)=40$; $n=41$. - Sumatoria: $$\sum_{k=1}^{41} \bigl(120 - 2(k-1)\bigr)$$ 3. Suma constante negativa repetida: $-7 -7 -7 -\cdots -7$ (35 términos). - Sumatoria: $$\sum_{k=1}^{35} (-7)$$ 4. Potencias: $5^3 + 6^3 + \cdots + 25^3$. - Término general: $(k)^3$ con $k=5,6,\dots,25$. - Sumatoria: $$\sum_{k=5}^{25} k^3$$ 5. Potencias de base fija: $3^5 + 3^6 + \cdots + 3^{50}$. - Es geométrica con $a=3^5$, $r=3$, términos desde $k=5$ hasta $k=50$. - Número de términos: $50-5+1=46$. - Sumatoria: $$\sum_{k=5}^{50} 3^k$$ 6. Fracciones telescópicas: $\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{50\cdot51}$. - Observe que $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. - Sumatoria: $$\sum_{k=2}^{50} \frac{1}{k(k+1)}$$ ## Cómo escribir sumatorias explícitas (ejemplos) - Ejemplo: $\displaystyle \sum_{k=4}^{10} (2k-1)$ se escribe como la suma $2\cdot4-1 + 2\cdot5-1 + \cdots + 2\cdot10-1$. - Para $\displaystyle \sum_{p=3}^{8} 5p$ la suma explícita es $15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40$. - Para signos alternados como $\displaystyle \sum_{n=2}^{8} (-1)^{n+1} n^2$ se expande respetando el signo alternado en cada término. ## Técnicas para calcular sumatorias 1. Usar sumas notables para términos polinómicos (convertir cada término a combinación de $k$, $k^2$, $k^3$). 2. Separar la sumatoria en partes por linealidad. 3. Identificar series geométricas y aplicar la fórmula de suma finita. 4. Buscar telescopaje factorizando el término general en diferencias. ### Ejemplo de cálculo con linealidad Calculemos $\displays