Test sobre Sucesiones y Progresiones Numéricas

Pregunta 1: En una progresión geométrica, la fórmula de la suma de los términos, S_n = a_1 × (r^n - 1) / (r - 1), puede aplicarse cuando la razón 'r' es igual a 1.

A. Sí

B. No

Explicación: La aplicación de la fórmula de la suma de una progresión geométrica, S_n = a_1 × (r^n - 1) / (r - 1), cuando r = 1, produce una división entre cero, lo cual es incorrecto. En el caso de que r = 1, la suma se calcula como S_n = n × a_1.

Pregunta 2: ¿Cuál es el quinto término de la progresión geométrica 3, 9, 27,...?

A. 81

B. 243

C. 729

D. 9

Explicación: La progresión geométrica es 3, 9, 27,... donde el primer término (a₁) es 3. Para encontrar la razón (r), dividimos un término por el anterior (9/3 = 3). La fórmula para el término general de una progresión geométrica es aₙ = a₁ × r^(n - 1). Para encontrar el quinto término (a₅), sustituimos a₁ = 3, r = 3 y n = 5: a₅ = 3 × 3^(5 - 1) = 3 × 3⁴ = 3 × 81 = 243.

Pregunta 3: En la progresión aritmética 3, 7, 11, 15, ..., el quinto término es 19.

A. Sí

B. No

Explicación: Para la progresión aritmética 3, 7, 11, 15, ..., el primer término (a₁) es 3 y la razón (d) es 4 (7 - 3 = 4). Usando la fórmula del término general aₙ = a₁ + (n-1) × d, para encontrar el quinto término (n=5), se calcula a₅ = 3 + (5-1) × 4 = 3 + 4 × 4 = 3 + 16 = 19.

Pregunta 4: La suma de los primeros 10 términos de la progresión aritmética 2, 5, 8, ... es igual a 150.

A. Sí

B. No

Explicación: Para la progresión 2, 5, 8, ..., se tiene $a_1=2$ y la diferencia $d=3$. Primero se calcula el término $a_{10}$: $a_{10} = 2 + (10-1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 2 + 27 = 29$. Luego, la suma $S_{10}$ se calcula con la fórmula $S_n = n \times (a_1 + a_n)/2$: $S_{10} = 10 \times (2 + 29)/2 = 10 \times (31)/2 = 310/2 = 155$. Por lo tanto, la suma no es 150.

Pregunta 5: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente el concepto de una serie aritmética según el material de estudio?

A. Es la suma de los términos de una sucesión.

B. Es una lista ordenada de números que siguen un patrón.

C. Es la fórmula que permite calcular cualquier término de una sucesión.

D. Es una progresión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al término anterior.

Explicación: Según el material de estudio, 'Una serie es la suma de los términos de una sucesión. S_n representa la suma de los primeros 'n' términos'. Las otras opciones describen una sucesión, el término general o una progresión aritmética, pero no una serie.