Resumen de Sucesiones y Progresiones Numéricas

## Introducción Una **progresión geométrica** es una sucesión de números en la que cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando el término anterior por una **razón constante** $r$. Este tema permite describir patrones de crecimiento o decrecimiento multiplicativo y aparece en finanzas, ciencias y tecnología. > **Definición:** Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante $r$. ## Conceptos fundamentales ### Término general La fórmula para el $n$-ésimo término de una progresión geométrica es $$ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} $$ donde $a_1$ es el primer término y $r$ es la razón. - Si $r>1$, la sucesión crece exponencialmente. - Si $0<r<1$, la sucesión decrece hacia 0. - Si $r<0$, los términos alternan signo. > **Cálculo de la razón:** Para cualquier $n$, $r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$. ### Ejemplo práctico (paso a paso) Considera la sucesión $2$, $6$, $18$, $54$, ... Aquí $a_1 = 2$ y $r = 3$. - Término general: $$ a_n = 2 \times 3^{(n-1)} $$ - Calcular $a_3$: $$ a_3 = 2 \times 3^{2} $$ - Calcular $a_5$: $$ a_5 = 2 \times 3^{4} $$ ### Nota sobre errores comunes - No confundir con progresión aritmética (no incluir contenido de ese tema aquí). - Verifica siempre que la razón se calcule dividiendo un término por el anterior. ## Suma de los primeros n términos (serie geométrica) Para $r \neq 1$, la suma de los primeros $n$ términos se calcula con $$ S_n = a_1 \times \dfrac{r^{n} - 1}{r - 1} $$ Si $r = 1$, todos los términos son iguales a $a_1$ y $$ S_n = n \times a_1 $$ ### Ejemplo de suma Para la sucesión $5$, $10$, $20$, $40$, ... tenemos $a_1 = 5$ y $r = 2$. - Suma de los primeros 5 términos: $$ S_5 = 5 \times \dfrac{2^{5} - 1}{2 - 1} = 5 \times (32 - 1) = 5 \times 31 = 155 $$ ### Condiciones de convergencia - Si $|r|<1$, la serie geométrica infinita converge y su suma es $$ S_{\infty} = \dfrac{a_1}{1 - r} $$ - Si $|r|\ge 1$, la serie infinita no converge. ## Aplicaciones reales - Finanzas: crecimiento de inversiones con interés compuesto, donde los valores siguen una progresión geométrica. Por ejemplo, capital inicial $C$, razón $r = 1 + i$ con tasa $i$. - Ciencias: desintegración radiactiva aproximada por un factor de reducción constante por intervalo de tiempo. - Informática: costos o tiempos de algoritmos que se duplican cada paso, estructuras que crecen exponencialmente. ## Tabla comparativa (conceptos relacionados) | Concepto | Fórmula clave | Observación | |---|---:|---| | Término general | $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$ | Define cada término por multiplicación | | Razón | $r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ | Constante entre términos consecutivos | | Suma finita ($r\ne1$) | $S_n = a_1 \dfrac{r^{n} - 1}{r - 1}$ | Útil para totales parciales | | Suma infinita ($|r|<1$) | $S_{\infty} = \dfrac{a_1}{1 - r}$ | Convergencia absoluta cuando $|r|<1$ | ## Consejos prácticos - Siempre identifica $a_1$ y calcula $r$ antes de aplicar fórmulas. - Usa la fórmula del término general para obtener términos lejanos sin listar toda la sucesión. - Para series infinitas verifica primero la condición $|r|<1$. - Si $r$ es negativo, espera términos alternados en signo. Fun fact: La fórmula de la suma geométrica aparece en problemas de ajedrez históricos relacionados con hojas de trigo en un tablero, donde se doblaba la cantidad en cada casilla y la suma resultó ser una progresión geométrica. ## Ejercicios de práctica (sugeridos) 1. Dada la sucesión $3$, $-6$, $12$, $-24$, ... encuentra $a_1$, $r$, $a_6$ y $S_6$. 2. Calcula la suma infinita de la progresión geométrica con $a_1 = 8$ y $r = \dfrac{1}{4}$. 3. Una inversión inicial de $1000$ crece cada año al $5\%$. Escribe la expresión para el monto tras $n$ años. ## Resumen - Una progresión geométrica multiplica cada término por una razón constante $r$. - Término general: $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$. - Suma finita: $S_n = a_1 \dfrac{r^{n} - 1}{r - 1}$ para $r \neq 1$. - Suma in