# Números: guía para estudiantes ## Introducción Los **números** son herramientas que nos permiten contar, medir y describir cantidades. En esta guía rápida repasaremos los conjuntos numéricos principales: los naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, sus propiedades y operaciones básicas, con ejemplos y aplicaciones prácticas para que puedas estudiar sin asistir a clase. > **Definición:** Un *conjunto numérico* es una colección de números que comparte ciertas propiedades y sobre la cual se definen operaciones. ## 1. Conjuntos numéricos: panorama general - **Números naturales** $\mathbf{N}$: usados para contar: $1,2,3,\dots$ (a veces incluyen el $0$; se denota $\mathbf{N}_0$ cuando está incluido). - **Números enteros** $\mathbf{Z}$: incluyen naturales, sus negativos y el cero: $\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$. - **Números racionales** $\mathbf{Q}$: números que pueden escribirse como fracción $\frac{p}{q}$ con $p,q\in\mathbf{Z}$ y $q\neq 0$. - **Números irracionales** $\mathbf{I}$: números cuyo desarrollo decimal es infinito y no periódico. - **Números reales** $\mathfrak{R}$: unión de los racionales e irracionales: $\mathfrak{R}=\mathbf{Q}\cup\mathbf{I}$. ### Did you know that the number $\pi$ is irrational and appears in many formulas relating circles and periodic phenomena? ## 2. Números enteros $\mathbf{Z}$ > **Definición:** $\mathbf{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$. Propiedades clave: - Conjunto infinito y discreto. - No tiene primer ni último elemento. - Operaciones: la suma y la resta entre enteros siempre producen enteros (ley de cierre). Ejemplo rápido: si $m,n\in\mathbf{N}$ y $m<n$, podemos usar enteros para representar $m-n$ como número negativo. ## 3. Números racionales $\mathbf{Q}$ > **Definición:** Un número racional es una fracción $\frac{p}{q}$ con $p,q\in\mathbf{Z}$, $q\neq 0$, donde fracciones equivalentes representan el mismo racional. 3.1 Fracciones equivalentes > **Definición:** $\frac{p}{q}$ es equivalente a $\frac{r}{s}$ si y sólo si $p\cdot s = r\cdot q$. Ejemplo práctico: $\frac{1}{5}$ y $\frac{2}{10}$ son equivalentes porque $1\cdot 10 = 2\cdot 5$. 3.2 Operaciones y propiedades (resumen) | Operación | Propiedades principales | | --- | --- | | Adición | Ley de cierre, asociativa, conmutativa, elemento neutro (0), elemento opuesto para enteros y reales | | Sustracción | Ley de cierre (según conjunto), existencia de elemento neutro en suma | | Producto | Ley de cierre, asociativa, conmutativa, elemento neutro (1), elemento inverso para no nulos, distributiva respecto de la suma | | División | Ley de cierre donde está definida (divisor distinto de 0), elemento neutro | 3.3 Suma de fracciones - Igual denominador: la suma algebraica conserva el denominador y suma los numeradores. Ejemplo: $$\frac{5}{6}+\frac{3}{6}-\frac{9}{6}=\frac{5+3-9}{6}=\frac{-1}{6}$$ - Distinto denominador: se usa el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Ejemplo paso a paso: Calcular $\frac{5}{12}-\frac{3}{6}+\frac{7}{4}$. Descomposición: $$12=2^2\cdot 3$$ $$6=2\cdot 3$$ $$4=2^2$$ Por tanto $\mathrm{mcm}(12,6,4)=2^2\cdot 3=12$. Realizamos la suma algebraica con el denominador común: $$\frac{5}{12}-\frac{3}{6}+\frac{7}{4}=\frac{5\cdot 1-3\cdot 2+7\cdot 3}{12}=\frac{5-6+21}{12}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$$ 3.4 Potencias de fracciones Si $\frac{p}{q}\in\mathbf{Q}$ y $n\in\mathbf{N}$, entonces $$\left(\frac{p}{q}\right)^n=\frac{p^n}{q^n}$$ Para exponentes negativos: $$\left(\frac{p}{q}\right)^{-n}=\frac{q^n}{p^n}$$ Ejemplos: $$\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$$ $$\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{25}$$ Fun fact: El concepto de fracciones equivalentes es clave en la criptografía moderna cuando se trabaja con congruencias y proporcionalidad modular ## 4. Números irracionales $\mathbf{I}$ > **Definición:** Un número es irracional si su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Ejemplos famosos: $$\sqrt{2}=1.414213562\dots$$ $$\pi=3.141592654\dots$$ P