Resumen de Sector Circular: Perímetro y Longitud de Arco

## Introducción Las longitudes y áreas relacionadas con porciones de un círculo son conceptos fundamentales en geometría y aparecen en ingeniería, arquitectura y diseño. En este material aprenderás a relacionar la medida de un ángulo central con la fracción del círculo que corresponde, cómo calcular la longitud de un arco y el área de un sector usando expresiones en función del radio y del ángulo. > **Definición:** Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice coincide con el centro del círculo y cuyos lados interceptan el círculo en dos puntos. ## Conceptos básicos desglosados ### 1. Ángulo central y fracción del círculo - Si un ángulo central mide $ heta$ grados, la fracción del círculo que corresponde es $$\frac{\theta}{360^{\circ}}.$$ - Esa fracción se usa para calcular tanto la longitud del arco como el área del sector correspondiente. > **Definición:** La parte del círculo que ocupa un ángulo central $ heta$ es la fracción $$\frac{\theta}{360^{\circ}}.$$ ### 2. Longitud de un arco - La longitud del arco correspondiente a un ángulo central $ heta$ en un círculo de radio $r$ se obtiene como la fracción de la circunferencia total $2\pi r$: $$\text{Longitud del arco} = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^{\circ}}.$$ - Forma equivalente, simplificando la constante: $$\text{Longitud del arco} = \frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}.$$ > **Definición:** La longitud del arco es la distancia a lo largo del contorno del círculo entre los puntos determinados por el ángulo central. ### 3. Área de un sector circular - El área del sector determinado por $ heta$ en un círculo de radio $r$ es la fracción correspondiente del área total $\pi r^{2}$: $$\text{Área del sector} = \pi r^{2} \cdot \frac{\theta}{360^{\circ}}.$$ - Forma equivalente: $$\text{Área del sector} = \frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}.$$ > **Definición:** El área del sector es la porción del área del círculo delimitada por dos radios y el arco correspondiente. ## Procedimiento paso a paso (cómo resolver problemas) 1. Identifica el radio $r$ y el ángulo central $\theta$. 2. Calcula la fracción del círculo: $\dfrac{\theta}{360^{\circ}}$. 3. Para longitud de arco usa $\dfrac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$. 4. Para área del sector usa $\dfrac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$. 5. Si piden usar una aproximación de $\pi$, reemplaza $\pi$ por el valor indicado y realiza la aritmética. ## Tabla de referencia | Ángulo central $\theta$ | Fracción $\dfrac{\theta}{360^{\circ}}$ | Parte del círculo | Área del sector | Longitud del arco | | --- | ---: | --- | --- | --- | | $180^{\circ}$ | $\dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\pi r^{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi r^{2}}{2}$ | $2\pi r \cdot \dfrac{1}{2} = \pi r$ | | $120^{\circ}$ | $\dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\pi r^{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi r^{2}}{3}$ | $2\pi r \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2\pi r}{3}$ | | $90^{\circ}$ | $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\pi r^{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{\pi r^{2}}{4}$ | $2\pi r \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{\pi r}{2}$ | | $60^{\circ}$ | $\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\pi r^{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{\pi r^{2}}{6}$ | $2\pi r \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{\pi r}{3}$ | ## Ejemplos prácticos 1) Longitud de arco con $r=2.3\,\mathrm{cm}$ y $\theta=60^{\circ}$. Usa $\pi\approx 3,14$. $$\text{Longitud} = \frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$$ Sustituimos: $$\text{Longitud} = \frac{3{,}14 \cdot 2{,}3 \cdot 60}{180}$$ Calcula el numerador y divide por 180 para obtener la respuesta en cm. 2) Si $r=4\,\mathrm{cm}$ y la longitud del arco es $6{,}28\,\mathrm{cm}$, hallar $\theta$. Partimos de $$6{,}28 = \frac{\pi \cdot 4 \cdot \theta}{180^{\circ}}.$$ Usando $\pi\approx 3{,}14$ simplificamos y resolvemos para $\theta$: $$6{,}28 = \frac{3{,}14 \cdot 4 \cdot \theta}{180}$$ Despeja $\theta$ multiplicando ambos lados por $180$ y dividiendo por $3{,}14\cdot 4$. 3) Longitud de arco con $r=4\,\mathrm{cm}