Resumen de Resolución de Ecuaciones Lineales: Ax + B = C

## Introducción Las **ecuaciones lineales de primer grado** son igualdades que contienen una incógnita elevada a la potencia uno. Resolverlas es fundamental para modelar y resolver problemas cotidianos como repartir cantidades, calcular precios o encontrar la velocidad constante de un objeto. > Una ecuación lineal de primer grado tiene la forma general $$A x + B = C$$ donde $A$, $B$ y $C$ son números reales y $x$ es la incógnita. ## Conceptos básicos desglosados ### 1. Términos y coeficiente - Coeficiente: el número que multiplica a la incógnita, por ejemplo en $$A x$$ el coeficiente es $A$. - Término independiente: el número que no multiplica a la incógnita, por ejemplo $B$ o $C$. ### 2. Objetivo al resolver El objetivo es despejar la incógnita $x$, dejando $x$ sola en un miembro de la igualdad para calcular su valor. ### 3. Estrategia general (pasos) 1. Reducir los términos que contienen $x$ en un solo lado. 2. Pasar los términos independientes al lado opuesto (sumando o restando) para agruparlos. 3. Despejar $x$ dividiendo por el coeficiente $A$. 4. Comprobar sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original. ## Método paso a paso Sea la ecuación general $$A x + B = C$$ - Primero, restamos $B$ en ambos lados para dejar los términos con $x$ solos: $$A x = C - B$$ - Luego dividimos entre $A$ para despejar $x$: $$x = \frac{C - B}{A}$$ > Nota: Si $A = 0$ la ecuación no es de primer grado o puede no tener solución o tener infinitas soluciones; eso se estudia aparte. ## Ejemplos resueltos paso a paso Actividad: Resuelva las ecuaciones paso a paso y compruebe sustituyendo. 1) $$3x + 5 = 20$$ Restar 5: $$3x = 20 - 5$$ $$3x = 15$$ Dividir entre 3: $$x = \frac{15}{3}$$ $$x = 5$$ Comprobación: $$3\cdot 5 + 5 = 15 + 5 = 20$$ correcto. 2) $$4x + 7 = 31$$ Restar 7: $$4x = 31 - 7$$ $$4x = 24$$ Dividir entre 4: $$x = \frac{24}{4}$$ $$x = 6$$ Comprobación: $$4\cdot 6 + 7 = 24 + 7 = 31$$ correcto. 3) $$5x + 2 = 27$$ Restar 2: $$5x = 27 - 2$$ $$5x = 25$$ Dividir entre 5: $$x = \frac{25}{5}$$ $$x = 5$$ Comprobación: $$5\cdot 5 + 2 = 25 + 2 = 27$$ correcto. 4) $$6x - 8 = 26$$ Pasar $-8$ sumando 8 a ambos lados: $$6x = 26 + 8$$ $$6x = 34$$ Dividir entre 6: $$x = \frac{34}{6}$$ $$x = \frac{17}{3}$$ (si se desea, decimal: $x \approx 5.666\ldots$) Comprobación: $$6\cdot \frac{17}{3} - 8 = 34 - 8 = 26$$ correcto. 5) $$12x + 6 = 54$$ Restar 6: $$12x = 54 - 6$$ $$12x = 48$$ Dividir entre 12: $$x = \frac{48}{12}$$ $$x = 4$$ Comprobación: $$12\cdot 4 + 6 = 48 + 6 = 54$$ correcto. 6) $$15x + 20 = 95$$ Restar 20: $$15x = 95 - 20$$ $$15x = 75$$ Dividir entre 15: $$x = \frac{75}{15}$$ $$x = 5$$ Comprobación: $$15\cdot 5 + 20 = 75 + 20 = 95$$ correcto. > Observación: Evite errores aritméticos al simplificar fracciones; por ejemplo en el enunciado inicial había una respuesta errónea $x = 0.06$ para el último ejercicio; la solución correcta es $x = 5$. ## Tabla comparativa: acciones y efectos | Acción en la ecuación | Qué cambia | Ejemplo sobre $$3x+5=20$$ | |---|---:|---| | Sumar/restar mismo número en ambos lados | Preserva la igualdad moviendo términos | Restar 5: $$3x=15$$ | | Multiplicar/dividir ambos lados por mismo número distinto de 0 | Preserva la igualdad cambiando escala | Dividir entre 3: $$x=5$$ | | Dividir entre 0 | No está permitido | No aplicable | ## Aplicaciones prácticas - Repartir una cantidad total entre personas: si $A x + B = C$ puede representar coste por persona $A$, cargo fijo $B$ y total $C$. - Problemas de mezcla y presupuesto simples donde hay una parte variable y una fija. - Conversión de unidades con costo fijo más costo por unidad. ¿Sabías que resolver ecuaciones lineales es la base para estudiar sistemas de ecuaciones y álgebra lineal, áreas muy útiles en economía, informática y ciencias? Fun fact: Las ecuaciones lineales aparecieron en la antigüedad; civilizaciones como la babilónica resolvían problemas lineales ya hace miles de años utilizando proc