Resumen de Regresión Lineal y Coeficiente de Correlación

## Introducción La regresión lineal es una herramienta matemática que permite encontrar la relación cuantitativa entre dos variables numéricas. En este material nos enfocaremos en conceptos básicos de regresión lineal, cómo interpretar una recta de ajuste y cómo calcular parámetros sencillos usando fórmulas elementales. El contenido está pensado para estudiantes de secundaria y usa ejemplos prácticos. > **Definición:** La regresión lineal busca una recta $y = A x + B$ que minimice la discrepancia entre los valores observados y los valores predichos por la recta. ## Conceptos fundamentales ### Media y sumas - La **media** de una variable $x$ con $N$ observaciones se escribe como $M_x = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i$. - Las sumas y sumas de cuadrados que aparecen con frecuencia son $\sum x$, $\sum y$, $\sum x^2$, $\sum y^2$ y $\sum x y$. > **Definición:** La *covarianza* entre $x$ e $y$ se puede expresar como $\mathrm{Cov}(x,y) = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i y_i - M_x M_y$. ### Ecuación de la recta de regresión - La forma general de la recta de regresión es: $$y = A x + B$$ - Las fórmulas típicas (mínimos cuadrados) para obtener $A$ y $B$ son: $$A = \dfrac{N\sum x y - \sum x \sum y}{N\sum x^2 - (\sum x)^2}$$ $$B = \dfrac{\sum y - A \sum x}{N} = M_y - A M_x$$ ### Interpretación de los coeficientes - $A$ es la **pendiente**: indica el cambio medio en $y$ por unidad de cambio en $x$. - $B$ es el **ordenada al origen**: valor esperado de $y$ cuando $x=0$. ## Pasos para calcular la recta (procedimiento práctico) 1. Calcular $\sum x$, $\sum y$, $\sum x^2$, $\sum x y$ y $N$. 2. Calcular $A$ con $$A = \dfrac{N\sum x y - \sum x \sum y}{N\sum x^2 - (\sum x)^2}$$ 3. Calcular $B$ con $$B = \dfrac{\sum y - A \sum x}{N}$$ 4. Escribir la recta: $$y = A x + B$$ ## Ejemplo práctico Supongamos que tenemos 5 observaciones con los siguientes resúmenes: $\sum x = 25$, $\sum y = 26$, $\sum x^2 = 135$, $\sum y^2 = 135$, $\sum x y = 135$, $N = 5$. 1) Calcular $A$: $$A = \dfrac{5\cdot 135 - 25\cdot 26}{5\cdot 135 - 25^2}$$ Calculemos numeradores y denominadores: $$5\cdot 135 = 675$$ $$25\cdot 26 = 650$$ $$675 - 650 = 25$$ $$5\cdot 135 = 675$$ $$25^2 = 625$$ $$675 - 625 = 50$$ Por tanto: $$A = \dfrac{25}{50} = 0.5$$ 2) Calcular medias: $$M_x = \dfrac{25}{5} = 5\quad M_y = \dfrac{26}{5} = 5.2$$ 3) Calcular $B$: $$B = M_y - A M_x = 5.2 - 0.5\cdot 5 = 5.2 - 2.5 = 2.7$$ 4) Recta de ajuste: $$y = 0.5 x + 2.7$$ ### Comprobación rápida - Para $x=5$, predicción: $$y = 0.5\cdot 5 + 2.7 = 5.2$$ que coincide con la media $M_y$ cuando $x=M_x$. ## Regresión de $y^2$ sobre $x$ o regresión sobre transformaciones A veces se ajusta una relación de la forma $$y^2 = A x + B$$ para estudiar relaciones no lineales entre las variables. El procedimiento para obtener $A$ y $B$ es análogo: se calculan sumas con las transformaciones (por ejemplo, $\sum y^2$, $\sum x y^2$) y se aplican fórmulas tipo mínimos cuadrados. > **Definición:** Ajuste de una variable transformada significa aplicar la regresión a una transformación de la variable, por ejemplo a $y^2$ en lugar de $y$. Ejemplo: si se dispone de $\sum x$, $\sum y^2$, $\sum x y^2$ y $N$, se usa: $$A = \dfrac{N\sum x y^2 - \sum x \sum y^2}{N\sum x^2 - (\sum x)^2}$$ $$B = \dfrac{\sum y^2 - A \sum x}{N}$$ ## Interpretación práctica y validez de estimaciones - Para evaluar la bondad de ajuste se usan medidas como la correlación y el coeficiente de determinación, pero aquí podemos comprobar que las estimaciones caen dentro del rango observado y que el valor de $A$ tiene sentido según los datos. - Un valor de un estadístico de precisión cercano a 1 indica que las estimaciones son bastante precisas en el contexto dado. Did you know que si $\mathrm{Cov}(x,y)=0$ y las varianzas son positivas, la pendiente de la recta de regresión será cero, lo que implica que la mejor recta horizontal es $y = M_y$? ## Tabla comparativa: regresión simple vs regresión con transformación | Aspecto | Regresión $y$ sobre $x$ | Regresión $y