Resumen de Regla de L'Hôpital y Formas Indeterminadas

## Introducción El estudio de límites es fundamental en cálculo diferencial porque permite describir el comportamiento de funciones cuando la variable se aproxima a un valor. Algunas expresiones que aparecen al evaluar límites producen «formas indeterminadas», y para resolverlas es necesario transformar la expresión antes de evaluar el límite. En este material veremos tipos comunes de indeterminaciones cuando la base y el exponente son variables, técnicas de transformación (logaritmo y equivalencias infinitesimales), ejemplos resueltos y ejercicios propuestos. ## Conceptos básicos > Definición: Un límite $\lim_{x\to a} f(x)$ existe si $f(x)$ se aproxima a un único valor cuando $x$ tiende a $a$. > Definición: Una forma indeterminada es una expresión algebraica o trascendente que, al sustituir el valor límite, produce una expresión sin un valor directo definido, por ejemplo $0/0$, $\infty/\infty$, $0^0$, $1^{\infty}$, $\infty^0$. ### Por qué aparecen las indeterminaciones - Aparecen cuando hay conflicto entre crecimiento y decrecimiento de factores en el límite: una parte tiende a $0$ y otra a $\infty$, o la base y el exponente varían simultáneamente. - Cuando la forma es de tipo potencia con base y exponente variables ($f(x)^{g(x)}$) suelen aparecer las formas $0^0$, $1^{\infty}$ y $\infty^0$. ## Técnica principal: pasar al logaritmo Para límites de la forma $f(x)^{g(x)}$ es muy útil aplicar logaritmo natural y transformar la potencia en un producto: 1. Definir $L=\lim f(x)^{g(x)}$ (si existe formalmente el límite o se busca su valor). 2. Tomar logaritmo: $\ln L=\lim g(x)\,\ln f(x)$ si la operación está justificada. 3. Resolver el límite del producto $g(x)\,\ln f(x)$ transformando la forma indeterminada en una de tipo $0/0$ o $\infty/\infty$ o mediante equivalencias. 4. Si $\ln L$ se obtiene como número finito, entonces $L=e^{\ln L}$. > Definición: Equivalente infinitesimal. Diremos que $h(x)$ es equivalente a $k(x)$ cuando $\lim_{x\to a} \dfrac{h(x)}{k(x)}=1$. Esto permite sustituir expresiones por sus equivalentes cuando calculamos límites. ## Equivalencias infinitesimales comunes - $\sin x\sim x$ cuando $x\to 0$. - $\tan x\sim x$ cuando $x\to 0$. - $\ln(1+x)\sim x$ cuando $x\to 0$. - $e^{x}-1\sim x$ cuando $x\to 0$. Tabla comparativa de pequeñas aproximaciones cerca de $0$: | Función | Equivalente para $x\to 0$ | Uso típico | |---|---:|---| | $\sin x$ | $x$ | Simplificar productos o razones con $\sin x$ | | $\tan x$ | $x$ | Sustituir en límites que involucran $\tan x$ | | $\ln(1+x)$ | $x$ | Transformar $\ln$ de expresiones cercanas a 1 | | $e^{x}-1$ | $x$ | Límites con exponenciales cerca de 0 | ## Estrategias para cada forma indeterminada (sin usar procedimientos específicos cubiertos en otro material) - Para $0^0$, $1^{\infty}$, $\infty^0$: aplicar $\ln$ y convertir en producto. - Para $0/0$ y $\infty/\infty$: factorizar, simplificar, usar equivalencias infinitesimales o transformaciones algebraicas. - Para límites en el infinito con polinomios y exponenciales: comparar órdenes de crecimiento (polinomios vs. exponenciales vs. potencias). ## Ejemplos resueltos (paso a paso) ### Ejemplo A: $\displaystyle L=\lim_{x\to 0^{+}} (\sin x)^{x}$ (forma $0^{0}$) Tomamos logaritmo: $$\ln L=\lim_{x\to 0^{+}} x\,\ln(\sin x).$$ Como $\sin x\sim x$, entonces $\ln(\sin x)\sim \ln x$ pero es más directo usar $\sin x\sim x$ y la equivalencia $\ln(1+u)\sim u$ con $u=\sin x -1$ no es inmediata; en cambio escribimos: $$\ln(\sin x)=\ln\left( x\cdot \dfrac{\sin x}{x} \right)=\ln x + \ln\left(\dfrac{\sin x}{x}\right).$$ Cuando $x\to 0^{+}$, $\ln\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)\to \ln 1=0$, por lo tanto el término dominante es $\ln x$. Entonces $$\ln L=\lim_{x\to 0^{+}} x\,\ln x =0$$ porque $x\ln x\to 0$ cuando $x\to 0^{+}$. Por lo tanto $$L=e^{0}=1.$$ ### Ejemplo B: $\displaystyle L=\lim_{x\to 0^{+}} (x^{x})$ (forma $0^{0}$) Tomamos logaritmo: $$\ln L=\lim_{x\to 0^{+}} x\,\ln x.$$ Como en el ejemplo anterior $x\ln x\to 0