Resumen de Prueba de Hipótesis Estadística
Prueba de Hipótesis Estadística: Guía Completa para Estudiantes
Introducción
Las pruebas de proporciones analizan si la proporción de una característica en una población difiere de un valor hipotético o cumple una dirección específica. Son herramientas fundamentales en estudios de calidad, encuestas y controles de procesos para evaluar cambios en porcentajes o partes de un todo.
Definición: Una prueba de proporciones evalúa si la proporción poblacional $p$ es igual, mayor o menor que un valor hipotético $p_0$ usando la información de una muestra y un nivel de significancia $\alpha$.
Conceptos clave desglosados
Población, muestra y proporción muestral
- Población: conjunto completo de interés (por ejemplo, todas las entregas de una empresa).
- Muestra: subconjunto seleccionado aleatoriamente.
- Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{x}{n}$ donde $x$ es el número de éxitos en la muestra y $n$ el tamaño muestral.
Hipótesis para pruebas de proporciones
- Prueba bilateral (dos colas): se usa para detectar cualquier diferencia respecto a $p_0$.
$$H_0: p = p_0$$
$$H_1: p \neq p_0$$ - Prueba unilateral derecha (cola derecha): se usa cuando se espera un aumento.
$$H_0: p \leq p_0$$
$$H_1: p > p_0$$ - Prueba unilateral izquierda (cola izquierda): se usa cuando se espera una disminución.
$$H_0: p \geq p_0$$
$$H_1: p < p_0$$
Definición: Valor crítico — número que delimita la región de rechazo de $H_0$ para un nivel de significancia $\alpha$; se obtiene de la distribución normal estándar o mediante calculadora inferencial.
Estadístico de prueba
Para muestras suficientemente grandes (regla práctica: $np_0 \ge 5$ y $n(1-p_0) \ge 5$), se usa el estadístico z: $$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0\left(1-p_0\right)}{n}}}$$ La decisión se toma comparando $z$ con los valores críticos según el tipo de prueba.
Regiones de rechazo y no rechazo
- Región de rechazo: si el estadístico cae en esta región, rechazamos $H_0$.
- Región de no rechazo: no hay evidencia suficiente para rechazar $H_0$.
Tabla comparativa de tipos de prueba
| Tipo de prueba | Hipótesis nula $H_0$ | Hipótesis alternativa $H_1$ | Región de rechazo (ejemplo para $\alpha$) |
|---|---|---|---|
| Bilateral | $p = p_0$ | $p \neq p_0$ | $ |
| Unilateral derecha | $p \le p_0$ | $p > p_0$ | $z > z_{1-\alpha}$ |
| Unilateral izquierda | $p \ge p_0$ | $p < p_0$ | $z < -z_{1-\alpha}$ |
Procedimiento paso a paso
- Definir $p_0$, $\alpha$ y el tipo de prueba (bilateral o unilateral).
- Tomar muestra y calcular $\hat{p} = \frac{x}{n}$.
- Comprobar condiciones: $np_0 \ge 5$, $n(1-p_0) \ge 5$.
- Calcular el estadístico:
$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0\left(1-p_0\right)}{n}}}$$ - Encontrar valor(es) crítico(s) para $\alpha$.
- Concluir: comparar $z$ con los críticos y decidir rechazar o no $H_0$.
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1 (a partir del material)
Una empresa desea evaluar si su nuevo sistema aumentó la puntualidad de entregas respecto al 85% anterior. Se formula:
$$H_0: p \le 0{,}85$$
$$H_1: p > 0{,}85$$
Este es un caso de prueba unilateral derecha porque se busca demostrar un aumento.
Ejemplo 2: aplicación de calculadora inferencial (bilateral)
Históricamente $p_0 = 0{,}70$. Se toma $n = 200$ y $x = 154$, entonces $\hat{p} = \frac{154}{200} = 0{,}77$. Con $\alpha = 0{,}05$ y prueba bilateral:
- Calcular estadístico:
$$z = \frac{0{,}77 - 0{,}70}{\sqrt{\frac{0{,}70\left(1-0{,}70\right)}{200}}}$$ - Resultado: si $|z| > z_{0{,}975} = 1{,}96$ se rechaza $H_0$. En el ejemplo mostrado la calculadora indica suficiente evidencia para rechazar $H_0$ al $5%$.
Ejemplo 3 (Actividad 2 adaptada)
Empresa de comercio electrónico asegura al menos $95%$ entregas sin errores. Muestra: $n = 250$, $x = 231$, $\hat{p} = \frac{231}{250} = 0{,}924$. Hipótesis apropiadas:
$$H_0: p \ge 0{,}95$$
$$H_1: p < 0{,}95$$
Se trata de una prueba unilateral izquierda (se busca evidencia de disminución). Calcular:
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Pruebas de proporciones
Klíčové pojmy: Calcular $\hat{p}=\frac{x}{n}$ antes de cualquier prueba, Usar prueba bilateral si se busca cualquier diferencia respecto a $p_0$, Usar prueba unilateral derecha si se busca aumento: $H_1: p>p_0$, Usar prueba unilateral izquierda si se busca disminución: $H_1: p<p_0$, Estadístico para muestras grandes: $z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$, Comprobar condiciones: $np_0\ge 5$ y $n(1-p_0)\ge 5$, Comparar $z$ con valores críticos o usar p-valor para decisión, Redactar conclusión indicando nivel de significancia $\alpha$, Para proporciones extremas o muestras pequeñas usar pruebas exactas, Los valores críticos dependen de $\alpha$ y del tipo de prueba