Resumen de Propiedades y Ecuaciones de Logaritmos

## Introducción Los logaritmos son una herramienta para transformar multiplicaciones y potencias en operaciones más sencillas. En este material veremos cómo usar propiedades básicas de los logaritmos y cómo cambiar la base cuando sea necesario. Aprenderás pasos claros, ejemplos resueltos y aplicaciones prácticas para resolver problemas de secundaria. > **Definición:** El logaritmo en base $a$ de un número $b$ es el exponente $x$ tal que $a^{x}=b$. Se escribe $\log_{a} b=x$. ## Propiedades básicas de los logaritmos Dividimos las propiedades en partes sencillas y daremos ejemplos. ### 1. Producto > **Propiedad:** $\log_{a} \left(left( xy \right)\right)=\log_{a} x + \log_{a} y$. Ejemplo: $\log_{10} 1000=\log_{10} \left(10^{3}\right)=3$ y también $\log_{10} 1000=\log_{10} 10 + \log_{10} 100$. ### 2. Cociente > **Propiedad:** $\log_{a} \left(left( \frac{x}{y} \right)\right)=\log_{a} x - \log_{a} y$. Ejemplo extraído del contenido: Para $\log_{10} \left(\frac{1}{100}\right)$ podemos escribir $$\log_{10} \left(\frac{1}{100}\right)=\log_{10} 1 - \log_{10} 100.$$ Como $\log_{10}1=0$ y $\log_{10}100=2$, el resultado es $-2$. Alternativamente, transformando a decimal: $\frac{1}{100}=0.01$ y como es potencia de 10 con dos cifras decimales negativas, $\log_{10}0.01=-2$. ### 3. Potencia > **Propiedad:** $\log_{a} \left(left( x^{k} \right)\right)=k\,\log_{a} x$. Ejemplo: $\log_{6} \left(36^{3}\right)=3\,\log_{6} 36$. Como $36=6^{2}$, se tiene $\log_{6}36=2$ y por tanto $3\times 2=6$. ### 4. Raíz (convertir a potencia) > **Regla práctica:** Una raíz se escribe como potencia con exponente fraccionario. Por ejemplo, la raíz cúbica de $4$ es $4^{1/3}$ y dentro del logaritmo se aplica la propiedad de la potencia. Ejemplo del contenido: $$\log_{2} \left(\sqrt[3]{4}\right)=\log_{2} \left(4^{1/3}\right)=\frac{1}{3}\,\log_{2} 4.$$ Como $\log_{2}4=2$, el resultado es $\frac{2}{3}$. > **Definición:** Para transformar una raíz $\sqrt[n]{x}$ se usa $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$. ## Cambio de base Cuando la base dada no es fácil de usar, se puede cambiar la base. La fórmula general es: > **Fórmula:** $\log_{a} b=\dfrac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ para cualquier base $c$ válida. Explicación: escribimos el logaritmo como cociente de logaritmos con la misma base en numerador y denominador. Ejemplo 1 (del contenido): $\log_{4} 8$. Como ni $4^{k}$ produce $8$, usamos base común $2$: $$\log_{4} 8=\dfrac{\log_{2} 8}{\log_{2} 4}.$$ Calculamos $\log_{2}8=3$ y $\log_{2}4=2$, entonces $$\log_{4}8=\dfrac{3}{2}.$$ Ejemplo 2: $\log_{9}27$. Elegimos base $3$: $$\log_{9}27=\dfrac{\log_{3}27}{\log_{3}9}.$$ Como $\log_{3}27=3$ y $\log_{3}9=2$, entonces $\log_{9}27=\dfrac{3}{2}$. ### Cuándo usar el cambio de base - Si el argumento o la base no son potencias obvias de la misma base, usa cambio de base. - Elige como base común una que transforme ambos números en potencias simples (p. ej. $2$, $3$, $10$). ## Ejemplos resueltos paso a paso 1) Resolver $\log_{10} \left(\frac{1}{100}\right)$: $$\log_{10} \left(\frac{1}{100}\right)=\log_{10}1-\log_{10}100=0-2=-2.$$ Alternativa: $\frac{1}{100}=0.01$ y $\log_{10}0.01=-2$. 2) Resolver $\log_{4}0.625$ (ejemplo del texto adaptado): primero escribir $0.625=\frac{625}{1000}$ y simplificar la fracción hasta donde sea posible. Si no se puede escribir como potencia exacta de $4$, el valor exacto no será un número entero y se necesitará calculadora para obtener la aproximación. Lo importante es reducir la fracción y reconocer cuando el logaritmo no es un valor entero. 3) Resolver $\log_{3}21 - \log_{3}7$: $$\log_{3}21 - \log_{3}7=\log_{3} \left(\frac{21}{7}\right)=\log_{3}3=1.$$ 4) Resolver $\log_{2} \left(\sqrt[3]{4}\right)$ ya mostrado da $\dfrac{2}{3}$. ## Tabla comparativa de propiedades | Propiedad | Fórmula | Uso práctico | |---|---:|---| | Producto | $\log_{a} \left(left( xy \right)\right)=\log_{a} x + \log_{a} y$ | Sumar logaritmos en productos | | Cociente | $\log_{a} \left(left( \frac{x}{y} \right)\right)=\log_{a}