Resumen de Problemas y Ejercicios de Geometría

## Introducción La geometría escolar estudia formas, medidas y relaciones entre puntos, rectas y figuras planas. En este material nos centraremos en técnicas prácticas usadas frecuentemente en bachillerato: proyecciones de lados en triángulos, propiedades relacionadas con tangencias y centros, y problemas sobre trapecios, rombos y polígonos regulares. > Definición: Una proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es la longitud del segmento formado por las perpendiculares trazadas desde los extremos del segmento hasta la recta. ## 1. Teorema de las proyecciones (en triángulos) ### Idea clave Cuando se proyectan dos lados de un triángulo sobre un tercer lado, las longitudes de las proyecciones están relacionadas con las longitudes de los lados y los cosenos de los ángulos. > Definición: Si en el triángulo $ABC$ proyectamos $AB$ y $BC$ sobre $AC$, las proyecciones son $AB\cos\angle BAC$ y $BC\cos\angle BCA$ respectivamente. Para cálculos prácticos: - Proyección de $AB$ sobre $AC$: $AB\cos\angle BAC$. - Proyección de $BC$ sobre $AC$: $BC\cos\angle BCA$. Ejemplo práctico: Si las proyecciones de $AB$ y $BC$ sobre $AC$ son conocidas como $p_{AB}$ y $p_{BC}$, y conocemos $AB$, podemos encontrar $BC$ por $$p_{BC} = BC\cos\angle BCA$$ si podemos relacionar el ángulo o usar que $p_{AB}+p_{BC}=AC$ en ciertas configuraciones. ### Uso en problemas dados - Si se da: $AB=13$, proyección de $AB$ sobre $AC$ es $5$, proyección de $BC$ sobre $AC$ es $9$. Entonces $AC=5+9=14$. Con $BC$ y el ángulo si fuera necesario, usar ley de cosenos o triángulos rectos auxiliares. ## 2. Triángulos y proyecciones en ejercicios comunes ### Ejemplo de resolución (tipo del enunciado) Problema: En un triángulo $ABC$, $AB=5$, $BC=6$ y la proyección de $AB$ sobre $AC$ es $\frac{3}{7}$. Calcular la proyección de $BC$ sobre $AC$. Solución esquemática: 1. Interpretar correctamente la fracción dada (si representa longitud o razón). 2. Usar relaciones trigonométricas: si la proyección de $AB$ sobre $AC$ es $p_{AB}=AB\cos\alpha$, donde $\alpha=\angle BAC$, entonces $\cos\alpha=\dfrac{p_{AB}}{AB}$. 3. Calcular $p_{BC}=BC\cos\angle BCA$; notar que $\angle BCA=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC$ y en problemas concretos suele haber datos que permiten obtener $\cos\angle BCA$ o usar que $p_{AB}+p_{BC}=AC$ cuando las proyecciones cubren todo $AC$. > Definición: Ley de los cosenos para el triángulo $ABC$: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\,AC\cos\angle BAC$$ ## 3. Trapecios y alturas Para un trapecio con bases paralelas $BC\parallel AD$, la altura $h$ se puede hallar con diagonales y bases cuando existen datos adecuados. Si conocemos las longitudes de las diagonales $AC$ y $BD$ y las bases $BC$ y $AD$, podemos usar propiedades de los triángulos formados por las diagonales. Ejemplo: Si $BC=5$, $AD=9$, $AC=13$, $BD=15$, se puede proceder trazando la altura desde un vértice y resolviendo triángulos rectángulos o usando el sistema resultante para hallar $h$. ## 4. Tangencias, incentro y puntos de contacto - Si una circunferencia inscrita en $\triangle ABC$ es tangente a $AC$ en $D$, entonces $AD$ y $DC$ están relacionados con semiperímetro $s$ mediante $AD=s- A B$ o expresiones análogas según lados. > Definición: En un triángulo con incentro, las distancias desde los vértices a los puntos de tangencia con un lado se obtienen con el semiperímetro $s$: si el punto de tangencia sobre $AC$ divide $AC$ en $AD$ y $DC$, entonces $AD = s - AB$ y $DC = s - BC$. Problema típico: Si $AB=5$, $BC=7$ y la circunferencia inscrita toca $AC$ en $D$, hallar $BD$ requiere encontrar $CD$ y usar relaciones con $s$ y con triángulos rectos formados por el inradio. ## 5. Rombos, romboides y diagonales - En un rombo o romboide, las diagonales se cruzan en su punto medio y generan triángulos rectángulos si el rombo es un caso particular. - Distancias desde un vértice hasta puntos medios de lados o diagonales pueden hallarse usando teoremas de medianas y el teorema de Stewart cuando correspond