Resumen de Problemas Resueltos de Equilibrio Estático
Problemas Resueltos de Equilibrio Estático: Guía Completa
Introducción
La tensión en cuerdas y cables es una fuerza que transmite un objeto a través de una cuerda ideal (sin masa ni estiramiento). En sistemas en equilibrio estático, las tensiones y otras fuerzas se ajustan de modo que la suma de fuerzas en cada dirección es cero. Este material explica cómo identificar tensiones, escribir las condiciones de equilibrio y resolver problemas típicos con pasos claros y ejemplos.
Definición: La tensión es la fuerza que actúa a lo largo de una cuerda o cable y siempre tira a lo largo de la dirección de la cuerda.
Conceptos básicos desglosados
Fuerzas y equilibrio
- Un cuerpo está en equilibrio estático si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es cero. Matemáticamente: $$\sum \vec{F} = \vec{0}$$
- En dos dimensiones esto implica dos ecuaciones escalares: $$\sum F_x = 0$$ $$\sum F_y = 0$$
- Las fuerzas típicas en problemas con cuerdas son la tensión $T$ y el peso $W$ donde $W = mg$.
Definición: El peso $W$ es la fuerza debida a la gravedad sobre una masa $m$ y se calcula como $W = mg$ con $g$ la aceleración de la gravedad.
Diagrama de cuerpo libre (DCL)
- Siempre dibuja el DCL antes de escribir ecuaciones.
- Representa todas las fuerzas: tensiones con dirección a lo largo de las cuerdas, peso vertical hacia abajo, y fuerzas externas si las hay.
Componentes de la tensión
- Si una cuerda forma un ángulo $\theta$ con la horizontal o vertical, descompón la tensión en componentes usando trigonometría.
- Ejemplos de descomposición (cuerda que forma $\theta$ con la horizontal): $$T_x = T\cos\theta$$ $$T_y = T\sin\theta$$
Tabla comparativa rápida
| Caso | Fuerzas principales | Ecuaciones de equilibrio | Resultado típico |
|---|---|---|---|
| Cuerda vertical única | $T$ hacia arriba, $W$ hacia abajo | $T - W = 0$ | $T = W = mg$ |
| Dos masas colgando en serie | $T_1$ en la unión, $T_2$ en la cuerda inferior | $T_1 - W_1 - W_2 = 0$, $T_2 - W_2 = 0$ | $T_1 = W_1 + W_2$, $T_2 = W_2$ |
| Cuerda con ángulo y cuerda horizontal | $T_1$ con ángulo $\theta$, $T_2$ horizontal, $W$ | $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ | $T_1=\dfrac{mg}{\sin\theta}$, $T_2=mg\cot\theta$ |
Procedimiento general para resolver problemas
- Dibuja el diagrama físico y el DCL del objeto considerado.
- Identifica todas las fuerzas (tensiones y peso).
- Elige un sistema de coordenadas (normalmente $x$ horizontal, $y$ vertical).
- Descompón las tensiones en componentes si hay ángulos.
- Escribe las ecuaciones de equilibrio: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$.
- Resuelve el sistema para las tensiones desconocidas.
Ejemplos resueltos (paso a paso)
Ejemplo 1: Lámpara colgando de una cuerda vertical
Problema: Una lámpara de $5,\mathrm{kg}$ cuelga de una cuerda fijada al techo. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
- Peso: $$W = mg = (5,\mathrm{kg})(9.8,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2) = 49,\mathrm{N}$$
- Equilibrio vertical: $$\sum F_y = T - W = 0$$
- Resultado: $$T = W = 49,\mathrm{N}$$
Ejemplo 2: Dos masas en serie colgadas de una cuerda fija
Problema: Un cable empotrado en el techo sostiene un objeto de masa $m$. De ese objeto cuelga otro de masa $0.5m$. Encontrar las tensiones en las dos cuerdas.
- Pesos: $$W_1 = mg, \quad W_2 = 0.5,mg$$
- Para la cuerda superior (sostiene ambas masas): $$\sum F_y = T_1 - W_1 - W_2 = 0$$
- Resultado: $$T_1 = W_1 + W_2 = 1.5,mg$$
- Para la cuerda inferior (sostiene solo la masa inferior): $$\sum F_y = T_2 - W_2 = 0$$
- Resultado: $$T_2 = W_2 = 0.5,mg$$
Ejemplo 3: Caja sostenida por una cuerda con ángulo y otra horizontal
Problema: Una caja de masa $m$ está colgada por una cuerda que forma un ángulo $\theta$ con el techo y además está sujetada por otra cuerda horizontal. Encontrar $T_1$ (a lo largo de la cuerda inclinada) y $T_2$ (horizontal).
- Peso: $$W = mg$$
- Componentes de $T_1$: $$T_{1x} = T_1\cos\theta$$ $$T_{1y} = T_1\sin\theta$$
- Equilibrio horizontal: $$\sum F_x = T_2 - T_{1x} = 0$$
- Equilibrio vertical: $$
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Tensiones y Equilibrio
Klíčové pojmy: Siempre dibujar el diagrama de cuerpo libre, En equilibrio estático: $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, Peso: $W=mg$ con $g=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$, Cuerda vertical: $T=W$, Cuerdas en serie: cuerda superior sostiene todas las cargas debajo, Descomponer tensión: $T_x=T\cos\theta$, $T_y=T\sin\theta$, Para caja con ángulo: $T_1=\dfrac{mg}{\sin\theta}$, $T_2=mg\cot\theta$, Sistema con dos cuerdas: resolver $T_1\cos\theta_1=T_2\cos\theta_2$ y $T_1\sin\theta_1+T_2\sin\theta_2=W$, Verificar unidades antes de calcular, Revisar signos y direcciones de las componentes