Resumen de Problemas de Secciones Cónicas y Funciones

## Introducción Las funciones son herramientas fundamentales en matemáticas y ciencias: modelan relaciones entre cantidades, permiten estudiar variación y sirven como base para el cálculo elemental. En este material revisaremos dominio y recorrido, operaciones con funciones, funciones definidas por partes, signos y composición, y ejemplos prácticos con ejercicios resueltos. > **Definición:** Una función $f$ es una regla que asigna a cada elemento $x$ de un conjunto de partida $D$ exactamente un valor $f(x)$ en el conjunto imagen $I$. El conjunto $D$ se llama **dominio** y el conjunto de todos los valores $f(x)$ es el **recorrido** o **imagen**. ## 1. Dominio y recorrido ### a) Conceptos básicos - Dominio: valores de $x$ permitidos por la definición de $f$ (evitar divisiones por cero, raíces pares de números negativos, etc.). - Recorrido: conjunto de valores que toma $f(x)$ cuando $x$ recorre el dominio. > **Definición:** Dominio de $f$, $\operatorname{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}:f(x)\text{ está definida}\}$. ### b) Reglas prácticas para encontrar dominio - Razones racionales: prohibir denominador cero. Ejemplo: $f(x)=\frac{3x+5}{x-8}$ tiene $\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{8\}$. - Raíz par: asegurar radicando no negativo. Ejemplo: $f(x)=\sqrt{x}$ tiene $\operatorname{Dom}(f)=[0,\infty)$. - Valor absoluto: definido para todo $x$, $\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}$. ### c) Ejemplos rápidos (dominio y recorrido) - $f(x)=4x+7$: dominio $\mathbb{R}$; es una función lineal y su recorrido es $\mathbb{R}$. - $f(x)=\sqrt{x}$: dominio $[0,\infty)$; recorrido $[0,\infty)$. - $f(x)=|x+3|$: dominio $\mathbb{R}$; recorrido $[0,\infty)$, porque valor absoluto no es negativo. - $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$: dominio $\mathbb{R}$; recorrido $\left(0,1\right]$ porque $1+x^2\ge 1$ y la fracción toma valores en $(0,1]$. - $f(x)=\dfrac{3x+5}{x-8}$: dominio $\mathbb{R}\setminus\{8\}$. Para el recorrido, se resuelve $y=\dfrac{3x+5}{x-8}$, despejar $x$: $$y(x-8)=3x+5$$ $$yx-8y=3x+5$$ $$yx-3x=8y+5$$ $$x(y-3)=8y+5$$ Si $y\neq 3$ entonces $x=\dfrac{8y+5}{y-3}$ existe; si $y=3$ no hay $x$ porque daría denominador cero en la expresión anterior. Por tanto el recorrido es $\mathbb{R}\setminus\{3\}$. - $f(x)=\sqrt{\dfrac{3x+1}{x-2}}$: dominio exige \(x\neq 2\) y \(\dfrac{3x+1}{x-2}\ge 0\). Para resolver la desigualdad, estudie signos de numerador y denominador: - Ceros: $3x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}$; $x=2$ es punto prohibido. - Tabla de signos da intervalos donde el cociente es no negativo: $(-\infty,-\tfrac{1}{3}]$ y $(2,\infty)$. Comprobar límites puntuales: en $x=-\tfrac{1}{3}$ el radicando es cero (permitido). En $x=2$ no está definido. Por tanto dominio es $(-\infty,-\tfrac{1}{3}]\cup(2,\infty)$. ### d) Métodos para encontrar recorrido - Despejar $x$ en términos de $y$ y analizar valores prohibidos. - Analizar comportamiento límite cuando $x\to\pm\infty$ y extremos locales. - Para funciones con raíz cuadrada, recorrido comienza en el mínimo del radicando si existe. ## 2. Operaciones con funciones y diferencias incrementales ### a) Cociente de incrementos y motivo Dado $f$, la expresión $\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$ es la diferencia incrementada usada en derivadas. Se simplifica algebraicamente para obtener la pendiente promedio. Ejemplo: Para $f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$ con dominio $\mathbb{R}\setminus\{2\}$, calculemos $$\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$$ Primero $f(3)=\dfrac{3\cdot 3+1}{3-2}=\dfrac{10}{1}=10$ y $$f(3+h)=\dfrac{3(3+h)+1}{3+h-2}=\dfrac{9+3h+1}{1+h}=\dfrac{10+3h}{1+h}$$ Entonces $$\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{\dfrac{10+3h}{1+h}-10}{h}=\dfrac{\dfrac{10+3h-10(1+h)}{1+h}}{h}=\dfrac{\dfrac{10+3h-10-10h}{1+h}}{h}=\dfrac{\dfrac{3h-10h}{1+h}}{h}=\dfrac{\dfrac{-7h}{1+h}}{h}$$ Simplificar por $h\neq 0$: $$\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{-7}{1+h}$$ > **Definición:** La expresión $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ es la pendiente promedio de $f$ entre $x$ y $x+h$. ### b) Composición e inversas parciales - Composición: $(f\circ p)(x)=f(p(x))$. - Para enco