Problemas de Secciones Cónicas y Funciones: Guía Completa
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Pregunta: ¿Cómo encuentras el centro y el radio de una circunferencia dada por la ecuación general x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0?
Respuesta: Completar cuadrados: escribir como (x + D/2)^2 + (y + E/2)^2 = (D^2+E^2)/4 - F. El centro es (-D/2, -E/2) y el radio es sqrt((D^2+E^2)/4 - F).
Pregunta: Determina el centro y radio de la circunferencia x^2 + y^2 − 2x − 4y + 1 = 0.
Respuesta: Completar cuadrados: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 1+4-1 =4. Centro (1,2), radio 2.
Pregunta: Determina el centro y radio de la circunferencia 2x^2 + 2y^2 − 2x − 2y + 9 = 0.
Respuesta: Dividir por 2: x^2+y^2 - x - y + 9/2 =0. Completar: (x-1/2)^2+(y-1/2)^2 = (1/4+1/4)-9/2 =1/2 -9/2 = -4. Centro (1/2,1/2), pero el término derecho nega
Pregunta: Determina el centro y radio de la circunferencia x^2 + y^2 − 4x + 6y + 13 = 0.
Respuesta: Completar: (x-2)^2+(y+3)^2 =4+9-13=0. Centro (2,-3), radio 0 (punto degenerado).
Pregunta: Determina el centro y radio de la circunferencia x^2 + y^2 − 4x − 6y + 17 = 0.
Respuesta: Completar: (x-2)^2+(y-3)^2 =4+9-17 = -4. Resultado negativo → no hay circunferencia real.
Pregunta: ¿Cómo se obtiene la ecuación de la circunferencia con centro en una recta dada y que pasa por dos puntos A y B?
Respuesta: Sea centro C=(h,k) con condición de pertenecer a la recta (ej. h+k=1). Igualar distancias: |CA|^2 = |CB|^2 = r^2. Usar condiciones para resolver h,k y
Pregunta: Encuentra la circunferencia con centro en la recta x+y=1 que pasa por A(0,6) y B(1,5). (Método resumido)
Respuesta: Sea C=(h,1-h). Imponer (h-0)^2+(1-h-6)^2 = (h-1)^2+(1-h-5)^2. Resolver para h, hallar k y r; escribir (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 y expandir para la forma gen
Pregunta: ¿Cómo construir la ecuación de una circunferencia tangente a una recta ax+by+c=0 con centro dado (h,k)?
Respuesta: Radio r es la distancia del centro a la recta: r = |a h + b k + c| / sqrt(a^2 + b^2). Entonces la ecuación es (x-h)^2+(y-k)^2 = r^2.
Pregunta: Ejemplo: centro (-1,-2) y tangente a 2x-3y+5=0. ¿Cómo se halla la ecuación?
Respuesta: Calcular r = |2(-1)-3(-2)+5|/sqrt(4+9)=| -2+6+5|/√13 =9/√13. Ecuación: (x+1)^2+(y+2)^2 = (9^2)/13 =81/13.
Pregunta: ¿Cómo se obtiene la circunferencia cuyo centro es la intersección de dos rectas y con radio dado?
Respuesta: Encontrar la intersección resolviendo el sistema para (h,k). Luego usar (x-h)^2+(y-k)^2 = r^2 con r dado y expandir a la forma general si se desea.