Resumen de Problemas de Matemáticas Financieras

## Introducción La **matemática financiera** estudia cómo se valoran los flujos de dinero en el tiempo. Permite comparar alternativas de pago o inversión usando tasas y esquemas de capitalización. En esta guía transformaremos en conceptos claros los ejercicios propuestos y presentaremos métodos para resolverlos. > Definición: La *Tasa Efectiva Anual (TEA)* es la tasa que refleja el interés ganado o pagado en un año, considerando la capitalización de los períodos intermedios. ## Conceptos básicos ### Interés compuesto - Fórmula del monto (capitalización n veces al año): $$M = C\left(1 + i\right)^{t}$$ donde $C$ es el capital inicial, $i$ es la tasa por período de capitalización y $t$ es el número de períodos. - Relación entre TEA y tasa por período: si la capitalización es $m$ veces por año y TEA es $r$, la tasa por período $i$ satisface $$\left(1 + i\right)^{m} = 1 + r$$ y entonces $$i = \left(1 + r\right)^{1/m} - 1$$ > Definición: La *Tasa Nominal Anual (TNA)* con capitalización $m$ indica una tasa anual dividida en $m$ períodos; la tasa por período es $\frac{\text{TNA}}{m}$ si se usa esa convención. ### Descuento simple y descuento racional (dcto. por adelantado) - **Descuento comercial (porciento sobre el valor nominal):** $D = N\cdot d\cdot t$ (cuando se usa tasa simple por tiempo). No es equivalente al descuento racional. - **Descuento racional (descuento por valor actual):** si $N$ es valor nominal a vencimiento y $i$ es la tasa por período, el valor actual $A$ es $$A = \dfrac{N}{\left(1 + i\right)^{t}}$$ y el descuento racional es $N - A$. > Definición: *Valor actual* es la suma que, invertida o aplicada a una tasa, produce el valor futuro $N$ al vencimiento. ### Operaciones con múltiples flujos y fecha focal - Para comparar o sustituir pagos que ocurren en distintos momentos, se elige una *fecha focal* y se trae cada flujo a dicha fecha usando capitalización o descuento: Si se quiere trasladar un pago $P$ de tiempo $t_1$ a tiempo $t_0$ con $t_1>t_0$: $$P_{t_0} = \dfrac{P}{\left(1 + i\right)^{t_1 - t_0}}$$ Si se quiere adelantar (pasar de $t_0$ a $t_1>t_0$): $$P_{t_1} = P\left(1 + i\right)^{t_1 - t_0}$$ ### Anualidades y series uniformes - Monto acumulado de una serie de cuotas periódicas iguales $R$ pagadas al final de cada período durante $n$ períodos: $$S = R\left(\dfrac{\left(1 + i\right)^{n} - 1}{i}\right)$$ - Valor presente de una anualidad ordinaria: $$PV = R\left(\dfrac{1 - \left(1 + i\right)^{-n}}{i}\right)$$ > Definición: *Anualidad ordinaria* es una serie de pagos iguales efectuados al final de cada período. ## Pasos prácticos para resolver ejercicios (metodología) 1. Identificar la tasa dada y su convención (TEA, TNA, capitalización m). Calcular la tasa por período $i$ usando $$i = \left(1 + r\right)^{1/m} - 1$$ 2. Expresar tiempos en número de períodos de capitalización (por ejemplo, meses si la capitalización es mensual). 3. Elegir fecha focal (por lo general hoy, o el vencimiento común, o el primer vencimiento según el problema). 4. Traer todos los flujos a la fecha focal usando las fórmulas de descuento o capitalización. 5. Igualar sumas si se sustituye por un único pago o resolver la ecuación para la incógnita (capital, tasa, tiempo o cuota). ## Tablas comparativas: tasas y capitalización | Tipo | Notación | Conversión a tasa por período | Uso típico | |---|---:|---|---| | TEA | $r$ | $i = \left(1 + r\right)^{1/m} - 1$ | comparar efectivamente anualmente | | TNA | $r_{nom}$ | $i = \dfrac{r_{nom}}{m}$ (según convención) | aplicaciones prácticas con capitalizaciones periódicas | | Descuento racional | - | $A = \dfrac{N}{\left(1+i\right)^{t}}$ | calcular valor presente real | ## Ejemplos prácticos seleccionados ### Ejemplo 1 — Valor presente y descuento racional Problema tipo: Un pagaré nominal $N$ vence dentro de $T$ períodos. Calcular su valor actual con tasa por período $i$. Solución: $$A = \dfrac{N}{\left(1 + i\right)^{T}}$$ Aplicación: reemplazar varios pagaré