Resumen de Problemas de Geometría y Ecuaciones Lineales

## Introducción La planificación de compras es una actividad clave en la gestión de proyectos y operaciones: implica calcular necesidades, comparar precios y decidir qué adquirir dentro de un presupuesto. En este material, aplicaremos conceptos algebraicos básicos a un caso práctico: delimitar un área rectangular en un Data Center y determinar si el presupuesto alcanza para comprar una cinta perimetral y un energizante. > **Definición:** La planificación de compras es el proceso de identificar necesidades, cuantificar recursos, estimar costos y tomar decisiones de compra que optimicen el uso del presupuesto. ## 1. Planteamiento del problema (contexto) - Se delimita un área rectangular para racks de servidores. - El lado más largo (largo) mide el quíntuple del ancho. - La diferencia entre largo y ancho es $1{,}6$ metros. - Presupuesto total: S/ $25$. - Precio por metro de cinta: S/ $3{,}50$. - Energizante: S/ $3{,}80$. - El vendedor vende solo metros enteros y ofrece 20% de descuento. ## 2. Modelado algebraico (paso a paso) ### 2.1. Definición de la variable > **Definición:** Sea $x$ el ancho del espacio en metros. El largo, por la condición, se expresa en función de $x$ como $5x$. ### 2.2. Ecuación que relaciona largo y ancho Se nos dice que la diferencia entre el largo y el ancho es $1{,}6$ metros. Por tanto: $$5x - x = 1{,}6$$ Resolvemos: $$4x = 1{,}6$$ $$x = 0{,}4$$ Por lo tanto, el ancho es $x = 0{,}4\text{ m}$ y el largo es $5x = 2{,}0\text{ m}$. ### 2.3. Interpretación geométrica (gráfico conceptual) - Área rectangular con ancho $x = 0{,}4\text{ m}$ y largo $5x = 2{,}0\text{ m}$. - Para representar el rectángulo en función de $x$, colocar los lados como $x$ y $5x$ en el dibujo. > Fun fact: ¿Sabías que la optimización del uso de espacio y presupuesto en Data Centers puede reducir costos de operación y mejorar la eficiencia energética? ## 3. Cálculos prácticos ### 3.1. Perímetro (metros de cinta necesarios) El perímetro $P$ de un rectángulo se calcula como: $$P = 2\left(x + 5x\right)$$ Sustituyendo $x = 0{,}4$: $$P = 2\left(0{,}4 + 2{,}0\right)$$ $$P = 2\left(2{,}4\right)$$ $$P = 4{,}8\text{ m}$$ Por lo tanto se necesitan $4{,}8$ metros de cinta. ### 3.2. Reglas del vendedor y cantidad a comprar El vendedor sólo vende metros enteros y ofrece 20% de descuento sobre el precio por metro. Julio debe comprar metros enteros suficientes para cubrir el perímetro. Como se necesitan $4{,}8$ m, Julio debe comprar $5$ m (no puede comprar fracciones). ### 3.3. Costo por metro con descuento Precio por metro sin descuento: S/ $3{,}50$. Descuento: $20\%$. Precio por metro con descuento: $$3{,}50 \times \left(1 - 0{,}20\right) = 3{,}50 \times 0{,}80$$ $$= 2{,}80\text{ S/ por metro}$$ Costo total por $5$ metros: $$5 \times 2{,}80 = 14{,}00\text{ S/}$$ ### 3.4. Verificar si puede comprar energizante Costo del energizante: S/ $3{,}80$. Suma total necesaria: $$14{,}00 + 3{,}80 = 17{,}80\text{ S/}$$ Presupuesto disponible: S/ $25{,}00$. Dinero restante: $$25{,}00 - 17{,}80 = 7{,}20\text{ S/}$$ Por tanto, Julio sí puede comprar la cinta y el energizante y le sobran S/ $7{,}20$. ## 4. Aplicaciones y consideraciones prácticas - Siempre redondear hacia arriba cuando el proveedor vende unidades discretas (metros enteros, cajas, paquetes). - Verificar descuentos aplicables sobre precio unitario o sobre total; aquí aplicamos descuento por unidad. - Considerar costos adicionales: impuestos, transporte, y posibles desperdicios (margen de seguridad en materiales). Tabla comparativa: decisiones y efectos | Decisión | Cálculo | Resultado práctico | |---|---:|---| | Comprar exactamente metros necesarios (si fuera posible) | $4{,}8$ m | No permitido por el vendedor (vende enteros) | | Redondear hacia arriba | $5$ m | Costo mayor pero cumple requisito | | Aplicar descuento | $3{,}50 \times 0{,}8$ | S/ $2{,}80$ por metro | ## 5. Ejemplo adicional (variación) Suponga que el ancho fuera $0{,}6$ m en lugar de $0{,}4$ m y la rela