Resumen de Problemas de Álgebra, Lógica y Conjuntos

## Introducción Este material cubre problemas típicos de Álgebra y Análisis Matemático orientado a un estudiante que no asiste a clases presenciales. Encontrarás explicaciones paso a paso, ejemplos resueltos y ejercicios tipo examen para practicar. El enfoque está en sumatorias, progresiones, crecimiento exponencial aplicado a cultivo de masa madre, y operaciones con números complejos y raíces de un número complejo. > **Definición:** Una *sumatoria* es la operación que suma una sucesión de términos y se denota por $\sum$. Una *progresión geométrica* es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón fija $r$. ## 1. Sumatorias y técnicas de simplificación ### Conceptos clave - **Sumatoria finita:** $$\sum_{i=a}^{b} f(i)$$ suma los valores de $f(i)$ desde $i=a$ hasta $i=b$. - **Linealidad:** $$\sum_{i=a}^{b} (A\,f(i)+B\,g(i)) = A\sum_{i=a}^{b} f(i) + B\sum_{i=a}^{b} g(i).$$ - **Formulas básicas:** - $$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}.$$ - $$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$ - $$\sum_{i=1}^{n} c = cn.$$ > **Definición:** Una *suma telescópica* es aquella en que muchos términos se cancelan al escribir términos sucesivos, dejando pocos términos no cancelados. ### Ejemplo 1 (factorización dentro de la sumatoria) Calcule: $$\sum_{i=3}^{30} (i+3)(i+7).$$ Sugerencia de procedimiento: 1. Expandir el producto: $$(i+3)(i+7) = i^2 + 10i + 21.$$ 2. Aplicar linealidad: $$\sum_{i=3}^{30} i^2 + 10\sum_{i=3}^{30} i + 21\sum_{i=3}^{30} 1.$$ 3. Usar fórmulas; para sumas desde $i=3$ a $30$ restar términos hasta $2$ si es necesario: $$\sum_{i=3}^{30} i = \sum_{i=1}^{30} i - \sum_{i=1}^{2} i.$$ ### Ejemplo 2 (sumas con constantes y potencias) Calcule: $$\sum_{i=1}^{20} \left(3i - 2\cdot 2^{2k-1}\right).$$ Observación: Asegúrese del índice correcto en la suma; si hay una variable $k$ debe coincidir con el índice de sumatoria. Si el problema original mezcla índices, primero reescribir con un solo índice consistente. ## 2. Sumas telescópicas ### Cómo reconocerlas - Aparecen términos del tipo $A_k - A_{k+1}$ o fracciones que se descomponen en diferencias de raíces. ### Procedimiento para determinar constante $C$ y calcular Problema tipo: encontrar $C$ tal que $$\sum_{k=5}^{25} \left(\sqrt{k+1}\,C_{k+1} - \sqrt{k}\,C_{k-1}\right)$$ sea telescópica. Aquí el objetivo es elegir una forma de $C_k$ que haga que cada término sea de la forma $A_k - A_{k+1}$. Estrategia: 1. Proponer que $C_k = \alpha\,\sqrt{k}$ u otra forma simple. 2. Sustituir y comprobar cancelación entre términos consecutivos. 3. Evaluar los términos no cancelados en los extremos. ## 3. Problemas de crecimiento: masa madre (progresiones geométricas y procedimientos) ### Modelo básico Si una cantidad se triplica cada 12 horas, el factor por ciclo es $r=3$. Si comienza con cantidad $Q_0$, después de $n$ ciclos la cantidad es $$Q_n = Q_0\,3^{n}.$$ > **Definición:** Una *progresión geométrica* con término inicial $a$ y razón $r$ tiene término general $a\,r^{n}$. ### Problema 3a (alimentar hasta 200 ml, triplica, separar 550 ml) - Paso 1: Comienza con 50 ml y alimenta hasta 200 ml; es decir, el cultivo inicial se transforma en $200$ ml antes de que transcurra el primer ciclo de 12 horas. - Paso 2: Cada 12 horas la mezcla triplica: $200\to 600$ ml en 12 horas. - Paso 3: Se separan $550$ ml para refrigerar y se repite con los $50$ ml restantes, que sirven de semilla para el siguiente ciclo. Por ciclo (cada 12 h) el procedimiento deja refrigerados $550$ ml y reinicia el proceso con $50$ ml. En 15 días hay $$\text{número de ciclos} = \frac{15\ \text{días} \times 24\ \text{h/día}}{12\ \text{h/ciclo}} = 30\ \text{ciclos}.$$ Cada ciclo se guarda $550$ ml, por tanto la cantidad total guardada en ml es $550\times 30$. Convertir a litros dividiendo por $1000$. ### Ejemplo de cálculo rápido $$\text{Total guardado} = 550\times 30 = 16500\ \text{ml} = 16.5\ \text{L}.$$ ### Problema 3b (duplicar al alimentar, triplica, separar la mi