Resumen de Números Reales, Desigualdades y Álgebra Básica

## Introducción Las desigualdades aparecen cuando comparamos cantidades y no necesariamente buscamos un valor exacto, sino todos los valores que hacen verdadera una relación del tipo $<$, $>$, $\leq$, $\geq$. Resolver una desigualdad significa hallar el conjunto de soluciones (a menudo un intervalo o una unión de intervalos) en la recta real. > **Definición:** Una desigualdad entre $a,b\in\mathbb{R}$ se expresa por ejemplo como $a<b$, $a\leq b$, $a>b$, $a\geq b$ y se interpreta según el orden en $\mathbb{R}$. --- ## Conceptos básicos ### Tipos de desigualdades - **Lineales:** involucran términos de primer grado, p. ej. $3x+4\geq 1-5x$. - **Cuadráticas:** involucran $x^2$, p. ej. $ax^2+bx+c<0$. - **Racionales:** cocientes de polinomios, p. ej. $\dfrac{5x+3}{x^2+5x+6}>1$. - **Con valor absoluto:** incluyen $|\cdot|$, p. ej. $|x-7|<\tfrac{4}{3}$. > **Definición (intervalo):** Un intervalo $I\subset\mathbb{R}$ es el conjunto de números entre dos extremos. Ejemplos: $]a,b[$, $[a,b]$, $[a,\infty[$, $]-\infty,b]$. ### Propiedades útiles - Si $a\leq b$ entonces $a+c\leq b+c$ para todo $c\in\mathbb{R}$. - Si $a\leq b$ y $c>0$ entonces $ac\leq bc$; si $c<0$ se invierte la desigualdad: $ac\geq bc$. - Multiplicar o dividir por un número negativo invierte la desigualdad. Tabla comparativa de intervalos | Notación | Descripción | Ejemplo | |---|---:|---| | $]a,b[$ | Abierto: $a<x<b$ | $]1,3[$ contiene $2$ | | $[a,b]$ | Cerrado: $a\leq x\leq b$ | $[0,1]$ contiene $0$ y $1$ | | $[a,\infty[$ | Semiabierto infinito | $[2,\infty[$ contiene $3,4,\dots$ | --- ## Resolver desigualdades paso a paso ### Desigualdades lineales 1. Reúne términos con la variable en un lado y constantes en el otro. 2. Simplifica y despeja. Si multiplicas o divides por una cantidad negativa, invierte la desigualdad. Ejemplo: Resolver $3x+4\geq 1-5x$. $$3x+4\geq 1-5x$$ Restar $1$ y sumar $5x$: $$8x+3\geq 1$$ Restar $3$: $$8x\geq -2$$ Dividir por $8$ (positivo): $$x\geq -\tfrac{1}{4}$$ Forma de intervalo: $[ -\tfrac{1}{4},\infty[$. Gráfica: semirrecta desde $-\tfrac{1}{4}$ incluida hacia la derecha. ### Desigualdades con valor absoluto - Para $|x|\leq c$ con $c\geq 0$ se transforma en $-c\leq x\leq c$. - Para $|x|\geq c$ se transforma en $x\leq -c$ o $x\geq c$. Ejemplo: Resolver $|x-7|<\tfrac{4}{3}$. $$|x-7|<\tfrac{4}{3}$$ Equivalente a: $$-\tfrac{4}{3}<x-7<\tfrac{4}{3}$$ Sumar $7$ a cada término: $$7-\tfrac{4}{3}<x<7+\tfrac{4}{3}$$ $$\tfrac{17}{3}<x<\tfrac{25}{3}$$ ### Inecuaciones cuadráticas Método general: 1. Llevar todo a un lado y factorizar si es posible. 2. Encontrar raíces reales $r_1,r_2$ (puntos críticos). 3. Usar una tabla de signos o analizar el signo del polinomio en intervalos determinados por las raíces. Ejemplo: Resolver $2x^2<3-5x$. $$2x^2<3-5x$$ Pasar todo al lado izquierdo: $$2x^2+5x-3<0$$ Factorizamos: $2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3)$ (comprobar). Raíces: $x=\tfrac{1}{2}$ y $x=-3$. Puntos críticos: $-\infty, -3, \tfrac{1}{2}, +\infty$. Tabla de signos da solución en el intervalo donde el producto es negativo: $]-3,\tfrac{1}{2}[$. ### Inecuaciones racionales 1. Poner todo en una sola fracción: $\dfrac{P(x)}{Q(x)}\;\Box\;0$. 2. Factorizar numerador y denominador. 3. Determinar puntos críticos (ceros de numerador y denominador). Los ceros del denominador no pueden incluirse. 4. Hacer tabla de signos por intervalos. Ejemplo resumido del material dado: resolver $$\dfrac{5x+3}{x^2+5x+6}>1$$ Transformaciones (resumen): simplificar y pasar a una sola fracción, factorizar $x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$ y terminar con $$(x-1)(x+1)(x+3)(x+2)<0$$ Puntos críticos: $-3,-2,-1,1$. Solución: $]-3,-2[\cup]-1,1[$. > **Observación:** Si la desigualdad fuera $\leq0$ habría que incluir raíces del numerador pero nunca las del denominador. --- ## Aplicaciones reales (mezclas y presupuestos) Ejemplo práctico 1 — Mezcla de jugos > Una industria mezcla dos jugos: uno a $4{,}000$ por litro y otro a $7{,}000$ por litro. Quiere 500 L con precio por litro entre $5{,}000$ y $